1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图知识梳理1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图
2、矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表S侧2S底VSh锥体S表S侧S底VSh台体S表S侧S上S下V(S上S下)h球S表4R2VR3常用结论1与体
3、积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图S原图形思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台()(3)菱形的直观图仍是菱形()(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方()教材改编题1如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD，剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱D六棱柱答案C2已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则
4、底面圆的半径为()A1cmB2cmC3cmD.cm答案B解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以l2r，即l2r，所以r2rlr2r2r3r212，解得r2.3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出的棱锥的体积为V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.题型一基本立体图形命题点1结构特征例1下列命题正确的是()A在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B直角三角形绕其任意一边所在直线旋
5、转一周所形成的几何体都是圆锥C棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台答案D解析A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等教师备选(多选)下列说法错误的是()A有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C如果一个
6、棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，
7、符合长方体的定义，故D正确思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可命题点2直观图例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案2解析DCABsin45，BCABcos45AD1，S梯形ABCD(ADBC)DC，SS梯形ABCD2.教师备选(2022益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45的等腰梯形，已
8、知直观图OABC的面积为4，则该平面图形的面积为()A.B4C8D2答案C解析由S原图形2S直观图，得S原图形248.思维升华(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形命题点3展开图例3如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R，扇形弧长l4，则该圆锥的表面积为()A2B(42)C(3)D8答案B解析设圆锥底面圆的半径为r，则2r4，解得r2，圆锥的表面积S表S底面圆S侧r2lR224(42).教师备选(2020浙
9、江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧rl2，rl2.又圆锥侧面展开图为半圆，l22，l2，r1.思维升华多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状跟踪训练1(1)(多选)给出下列命题，其中真命题是()A棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D存在每个面都是
10、直角三角形的四面体答案BCD解析A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形(2)(2022泰安模拟)已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形答案A解析根据斜二测画法还原ABC在直角坐标系中的图形，如图，则B
11、CBC2，AO2AO，ACAB2，所以ABC是一个等边三角形(3)(2022蚌埠模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为()A12B16C24D24答案A解析如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题意可得2412，则，在POP中，OPOP12，则小虫爬行的最短路程为PP12.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2022济南调研)如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是()A.B.C.
12、D.答案C解析如图所示，过点P作PE平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.AEAD，AD，AE，PE.设圆柱底面半径为r，则rAE，圆柱的侧面积S12rPE2，底面积S2r2222，圆柱的表面积SS1S2.(2)(2022南京质检)如图所示，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为_答案(604)解析由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体如图，过C作CEAD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F.则EDC180ADC45，
13、ECCDsin452，EDCDcos452，CFAE4，BFABAF3，BC5.故圆台的上底面半径r2，下底面半径R5，高h4，母线长l25.圆锥底面半径r2，高h2，母线长l12.所以圆台侧面积S1(Rr)l2(52)535，圆锥侧面积S22rl12224，圆台下底面面积S3R225.故该几何体的表面积SS1S2S335425(604).教师备选已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.思维升华(1
14、)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理命题点2体积例5(1)(2021新高考全国)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()A2012B28C.D.答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h，下底面面积S116，上底面面积S24，所以该棱台的体积Vh(S1S2)(164).(2)(2020新高考全国)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥
15、A1D1MN的体积为_答案1解析如图，由正方体棱长为2，得2222111，又易知D1A1为三棱锥D1A1MN的高，且D1A12，D1A121.(3)(2022大同模拟)九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD3丈，长AB4丈，上棱EF2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A4立方丈B5立方丈C6立方丈D8立方丈答案B解析如图，过E作EG平面ABCD，垂足为G，过F作FH平面ABCD，垂足为H，过G作PQAD，交
16、AB于Q，交CD于P，过H作MNBC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQBN1，QN2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形则它的体积VVEAQPDVEPQFMNVFNBCMEGS矩形AQPDSEPQNQFHS矩形NBCM1133121135(立方丈)教师备选(2022佛山模拟)如图所示，在直径AB4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使BAC30，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，则该几何体的体积为_答案解析如图，过点C作CDAB于点D.在RtABC中，ACABcos302，CDAC，ADACcos303，BDABAD1，将图中阴影部分，以AB为旋转
17、轴旋转180形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去两个同底的半圆锥，故所求几何体的体积为V.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(多选)(2022武汉质检)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.B(1)C2D(2)答案AB解析如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为，所以所
18、形成的几何体的表面积S112(1)；如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥的半径为，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S21.综上可知，形成几何体的表面积是(1)或.(2)(2022天津和平区模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为()A.B.C4D6答案B解析如图，三棱锥AB1CD1是由正方体ABCDA1B1C1D1截去四个小三棱锥AA1B1D1，CB1C1D1，B1ABC，D1ACD，又238，23，所以84.课时精练1(2021新高考全国)已知圆锥的底面半径为，其侧
19、面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2B2C4D4答案B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2l，解得l2.2(2022惠州调研)在我国古代数学名著数学九章中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A2丈4尺B2丈5尺C2丈6尺D2丈8尺答案C解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5210(尺)
20、，因此葛藤长的最小值为26(尺)，即为2丈6尺3在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A(5)B(4)C(52)D(3)答案A解析如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB1，高为BC2的圆柱挖去一个底面半径为AB1，高为BCAD211的圆锥，该几何体的表面积S122121(5).4(2022武汉模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器周礼中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍
21、璧礼天，以黄琮礼地”等文如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为(单位：cm3)()A23.043.92B34.563.92C34.563.12D23.043.12答案D解析由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，组合体的体积为V2242.42.412623.043.12.5(2022常德模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为()A.B.C.D.答案B解析取BC的中点G，
22、连接EG，BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为EG，高为EO，则正八面体的体积为V22，其表面积为S888，此正八面体的体积与表面积之比为.6(多选)(2022烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是()A圆面B矩形面C梯形面D椭圆面或部分椭圆面答案ABD解析将圆柱桶竖放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面7(多选)下列说法正确的是()A圆柱的每个轴截面都是全等的矩形B
23、棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C棱台的侧面是等腰梯形D用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面答案AD解析A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面8(多选)(2022邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取30，侧棱长为米，则()A正四棱锥的
24、底面边长为6米B正四棱锥的底面边长为3米C正四棱锥的侧面积为24平方米D正四棱锥的侧面积为12平方米答案AC解析如图，在正四棱锥SABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SHAB，设底面边长为2a.因为SHO30，所以OHAHa，OSa，SHa.在RtSAH中，a2221，解得a3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S62424(平方米)9如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_答案解析利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系Oxy中，BC1，xCB45.过点B
25、作x轴的垂线，垂足为点D.在RtBDC中，BDBCsin451.10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S_cm2.答案2600解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积S(40)(5080)2600(cm2)11.(2020江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm3.答案12解析螺帽的底面正六边形的面积S622sin606(cm2)，正六棱柱的体积
26、V16212(cm3)，圆柱的体积V20.522(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的体积VV1V2cm3.12(2022佛山质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足SBA为等边三角形，且面积为4，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为_答案8解析设圆锥的母线长为l，由SAB为等边三角形，且面积为4，所以l2sin4，解得l4；又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh8；又r2h216，解得rh2，所以圆锥的侧面积Srl248.13鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的
27、长均为2，则该鲁班锁的表面积为()图1图2A8(66) B6(88)C8(66) D6(88)答案A解析由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为S6828(66)14(2022南京模拟)小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图所示)，并在角上配了一个花结彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为221，则的值为_图图答案解析点心盒
28、的长、宽、高之比是221，设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，由题意可得l14a42a12a，l244a42a24a，.15(多选)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是()A直三棱柱的侧面积是42B直三棱柱的体积是C三棱锥EAA1O的体积为定值DAEEC1的最小值为2答案ACD解析在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为122242，故A正确；直三棱柱的体积为VSABCAA11121，故
29、B不正确；如图所示，由BB1平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥EAA1O的高为定值，2，所以，故C正确；设BEx0,2，则B1E2x，在RtABE和RtEB1C1中，AEEC1.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB1的中点时，AEEC1取得最小值，其最小值为2，故D正确16(多选)(2022寿光模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，
30、圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是(3.14)()A沙漏中的细沙体积为cm3B沙漏的体积是128cm3C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD该沙漏的一个沙时大约是1985秒答案ACD解析A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r4(cm)，所以体积Vr2(cm3)；B项，沙漏的体积V22h2428(cm3)；C项，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，2h1，所以h1，所以h12.4(cm)；D项，因为细沙的体积为cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，所以一个沙时为501985(秒)