1、第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C33+C43+C53=()A.C54B.C65C.C63D.C642.(2022河南期中)教学楼共有6层楼,每层都有南、北两个楼梯,从一楼到六楼共有()种走法.A.25B.52C.62D.263.(2022江苏模拟)(1-2x)n的二项展开式中,奇数项的系数和为()A.2nB.2n-1C.(-1)n+3n2D.(-1)n-3n24.(2022四川绵阳模拟)二项式x-2x5的展开式中,x3的系数为()A.-10B.-15C.10D.155.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 85
2、7,因为142 8572=285 714,142 8573=428 571,142 8574=571 428,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为()A.48B.60C.96D.1206.(2022湖南模拟)某中学派6名教师到A,B,C,D,E五个山区支教,每位教师去一个地方,每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A,决定派教师甲到山区A,同时考
3、虑到教师乙与丙为同一学科,决定将教师乙与丙安排到不同山区,则不同安排方法共有()A.360种B.336种C.216种D.120种7.(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为()A.-15B.-10C.10D.158.(2022山东模拟)某医院抽调3名医生,5名护士支援某城市三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有()A.900种B.1 200种C.1 460种D.1 820种二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022重庆高二期中)设(x2+x-1)5=a
4、0+a1x+a2x2+a10x10,则()A.a0=1B.a0=-1C.a0+a1+a2+a10=1D.a1+a3+a5+a7+a9=110.3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是()A.共有60种不同的坐法B.空位不相邻的坐法有72种C.空位相邻的坐法有24种D.两端不是空位的坐法有18种11.(2022重庆渝中检测)122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是()A.4B.6C.11D.1312.(2022江苏南通模拟)若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+a4 044x4 044,则()A.a0=1B.i=02022a2i=0C.i=14044(iai2i-1)=4
5、 04432 021D.i=02022(-1)i(C2022i)2=-C20221011三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导,要求每项运动至少有一名教师指导,每名教师指导一项运动,则分派方法共有种.14.(2021山东模拟)已知二项式3x1xn的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是.15.(2022浙江模拟)若(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5+a6x6,则a0+a1+a6=,a5=.16.(2022江苏苏州月考)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.则在组
6、成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有个.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.(1)求可以组成多少个大于500的三位数;(2)求可以组成多少个三位数;(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.18.(12分)在a1=35;Cm0+Cm1+Cmm=32(mN*);展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并回答下列题目.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,且.(1)求m的值
7、;(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).19.(12分)将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(用数字作答)(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;(3)求恰有一个空盒子的放法种数.20.(12分)已知x+124xn的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.求:(1)正整数n;(2)展开式中的有理项;(3)展开式中系数最大的项.21.(12分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.(1)选其中5人排成一排;(2)全体站成一排,男、女各站
8、在一起;(3)全体站成一排,男生不能站在一起;(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾.22.(12分)(2022辽宁本溪期末)某医院选派医生参加援助某地区的医疗活动,该院呼吸内科有3名男医生,2名女医生,其中李亮(男)为科室主任;该院病毒感染科有2名男医生,2名女医生,其中张雅(女)为科室主任,现在院方决定从两科室中共选4名医生参加援助活动(最后结果用数字表达).(1)若至多有1名主任参加,有多少种派法?(2)若呼吸内科至少有2名医生参加,有多少种派法?(3)若至少有1名主任参加,且有女医生参加,有多少种派法?第六章测评1.DC33+C43+C53=C44+C43+C53=C54+C53=C
9、64.故选D.2.A根据题意,教学楼共有6层,共5层楼梯,每层均有两个楼梯,即每层有2种走法,则一共有22222=25种走法.3.C在(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn中,奇数项的系数和为a0+a2+a4+,偶数项的系数和为a1+a3+a5+,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+=(-1)n,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+=3n,+除以2可得,a0+a2+a4+=(-1)n+3n2,故选C.4.A展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5-r-2xr=C5r(-2)rx5-2r,令5-2r=3,解得r=1,则x3的系数为C51(-2
10、)=-10.5.A根据题意,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有C61种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有C41种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有C21种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为C61C41C21=48,故选A.6.B根据题意,分2步:将6名教师分为5组,要求乙与丙不在同一组,有C
11、62-1=14种分组方法;将甲所在的组分到A山区,剩下的4组安排到其他4个山区,有A44=24种情况,则有1424=336种安排方法,故选B.7.C(x+1)5展开式的通项公式为Tk+1=C5kx5-k,分别令5-k=3,5-k=2,可得k=2,3,故(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为3C52-2C53=10,故选C.8.A根据题意,分2步进行分析:将3名医生安排到三家医院,有A33=6种安排方法;将5名护士分为3组,安排到三家医院,有C53+C52C32C11A22A33=150种安排方法,则有6150=900种不同的安排方案,故选A.9.BCD令x=0,解得a0=-1,故选项A错
12、误,B正确.令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,故选项C正确.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=-1,故2(a1+a3+a5+a9)=2,即a1+a3+a5+a7+a9=1,故选项D正确.故选BCD.10.ACD3个人坐在一排5个座位上,则有A53=60种不同的坐法,故A正确;空位不相邻的坐法有A33C42=36种,故B错误;若空位相邻,把相邻2个空位看作一个位置,则有A44=24种方法,故C正确;若两端不是空位,先从两端选2人排2人,剩余1人从中间3个位置选一个即可,有A32C31=18种,故D正确.故选ACD.11.BD依题意122022+a=(14-2)2022+a=i
13、=02021C2022i142022-i(-2)i+22022+a,显然i=02021C2022i142022-i(-2)i能被7整除,因此,若122022+a能被7整除,当且仅当22022+a能被7整除,而22022+a=8674+a=(7+1)674+a=k=0673(C674k7674-k)+1+a,又k=0673(C674k7674-k)能被7整除,从而得1+a能被7整除,结合选项,则整数a的值可以是6或13.12.ABDA选项,x=0时,1=a0,A正确;B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+a4044,x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+a4044,+,得0=a0+a2+a4
14、+a4044,B正确;C选项,(1-x2)2022=a0+a1x+a2x2+a4044x4044,求导得,2022(-2x)(1-x2)2021=a1+2a2x+3a3x2+4044a4044x4043,x=2时,2022(-4)(-3)2021=a1+2a22+3a322+4044a404424043,808832021=i=14044(iai2i-1),C错误;D选项,(1-x2)2022=(1+x)2022(1-x)2022(a0+a1x+a2x2+a4044x4044)=(C20220+C20221x+C20222x2+C20222022x2022)(C20220C20221x+C20
15、222x2-C20223x3+C20222022x2022),比较两边x2022的系数a2022=(C20220)2-(C20221)2+-(C20222021)2+(C20222022)2i=02022(-1)i(C2022i)2=-C20221011,D正确.13.36先把4人分为2,1,1,再分配到3个运动兴趣小组,故分派方法共有C42A33=36种.14.1 215二项式3x1xn的展开式中,所有项的系数之和为64,令x=1,得2n=64,n=6.它的通项公式为Tr+1=C6r(-1)r36-rx3-3r2,令3-3r2=0,可得r=2,故二项式3x1xn的展开式的常数项为C6234=
16、1215.15.967(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5+a6x6,则令x=1,可得a0+a1+a6=96.a5=2C55+C54=7.16.28符合要求的五位数,分成两类:1和3两个夹着0时,有2A33=12个,1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有C21A22(A33A22)=16个,综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.17.解(1)首位是5,7,9的三位数都大于500,故大于500的三位数有3A42=36个.(2)可以组成三位数的个数是4A42=48.(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有A31A32个三位数.第二
17、类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有23A33个三位数;若抽取印有0的卡片,则有23A21A22个三位数,所以,共有A31A32+23A33+23A21A22=78(个).18.解(1)若选条件,因为ak=C7kmk,k=0,1,2,7,又a1=35,所以C71m=35,解得m=5.若选条件,因为Cm0+Cm1+Cmm=32(mN*),所以2m=32,解得m=5.若选条件,因为展开式中二项式系数最大值为7m,所以C73=C74=7m,解得m=5.(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,令x=1,可得67=a0+a1+a2+a7,令x=-1,可得(-4)7=
18、a0-a1+a2-a7,两式相减可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,所以a1+a3+a5+a7=67+472=148160.19.解(1)若每个盒子放一个小球,把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列,故有A44=24种.(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种方法;若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种方法;故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法有C412=8种.(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只
19、能是1,1,2.先从4个小球中任选2个放在一起,有C42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A43种放法.故由分步乘法计数原理知共有C42A43=144种不同的放法.20.解(1)x+124xn的展开式中,前三项的系数Cn0,Cn112,Cn214依次成等差数列,则2Cn112=Cn0+Cn214,化简可得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去),或n=8.(2)由于展开式的通项公式为Tk+1=C8k12kx16-3k4.由于当k=0,4,8时,x的幂指数16-3k4为整数,故有理项为T1=C80x4=x4,T5=C84124x=358x,T9=C88128x-
20、2=1256x-2.(3)第k+1项的系数为C8k12k,其中,k=0,1,2,8,检验可得,当k=2或3时,该项的系数C8k12k最大为7.故展开式中系数最大的项为T3=7x52,T4=7x74.21.解(1)选其中5人排成一排,不同的排队方案的方法有C75A55=2520种.(2)全体站成一排,男、女各站在一起,有A22A33A44=288种方法.(3)全体站成一排,男生不能站在一起,有A44A53=1440种方法;(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾,有A42A55=1440种方法.22.解(1)至多有1名主任参加可以分为两种情况:若无主任参加,有C74=35种选派方法;若只有1名主任参加,有C21C73=70种选派方法.故共有105种派法.(2)呼吸内科至少有2名医生参加,有C52C42+C53C41+C54=105种派法.(3)张雅既是主任,也是女医生,属于特殊元素,故优先考虑.若有张雅,有C83=56种选派方法;若无张雅,则李亮必定去,有C31C42+C32C41+C33=31种选派方法.故共有87种.
