1、1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN)a，b同为正数可开方性ab0(nN)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0b.0ba,0c.0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)一
2、个非零实数越大，则其倒数就越小()(5)ab0，cd0.()(6)若ab0，则abb，则()Aacbc B.b2 Da3b3答案D解析ab，当c0时，ac0，bb，此时，故B错；当ba0时，a2b时，a3b3，故选D.2(教材改编)若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析0aba2b2，但由a2b20D/0.3若a，bR，且a|b|0 Ba3b30Ca2b20 Dab0答案D解析由a|b|0知，a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0成立故选D.4如果aR，且a2a0，则a，a2，a，a2的大
3、小关系是_答案aa2a2a解析由a2a0得aa2，a1，a2a2a.5(教材改编)若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a2aba2b2b解析0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a22.即a2ab1，即a2b2，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，综上，a2aba2b2b.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定(2)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac答案(1)B(2
4、)B解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.(2)方法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbe时，函数f(x)是减少的因为e34f(4)f(5)，即cba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单
5、调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系(1)设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BABCAB(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_答案(1)B(2)ab解析(1)A0，B0，A2B2a2b(ab)20，AB.(2)()16()16()16()16，(0,1)，()160,16180，18161618.即ab.题型二不等式的性质例2(1)已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb20(2)已知a，b，c，d为实数，则“ab且cd”是“acbdbcad”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
6、不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)由cba且ac0知c0.由bc得abac一定成立(2)因为cd，所以cd0.又ab，所以两边同时乘以(cd)，得a(cd)b(cd)，即acbdbcad.若acbdbcad，则a(cd)b(cd)，也可能ab且cb且cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件思维升华解决此类问题常有两种方法：一是直接利用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件若a0ba，cdbc；bd；a(dc)b(dc)中成立的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析方法一a0b，cd0，ad0，ad0ba，a
7、b0，cdd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C.方法二取特殊值题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A BC D答案A解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增加的，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，
8、而a3b32a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.引申探究1若将例4条件改为1xy3，求xy的取值范围解1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xy0， 故xy的取值范围为(4,0)2若将例4条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2
9、y的取值范围为(，)思维升华(1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径(1)若ab Ba2abC.bn(2)设ab1，c；acloga(b
10、c)其中所有正确结论的序号是()A BC D答案(1)C(2)D解析(1)(特殊值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|b1知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确6利用不等式变形求范围典例设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_错解展示解析由已知得得32a6，64a12，又由可得2ab1，得02b3，32b0，又f(2)4a2b，34a2b12，f(2)的取值范围是3,12答案
11、3,12现场纠错解析方法一由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A(，)时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大1已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()Aadbc BacbdCacbd Dacbd答案D解析由不等式的同向可加性得acbd.2(2016贵阳质检)下列命题中，正确的
12、是()A若ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd答案C解析取a1，b2，c2，d1，则acbd，acbd，故A，D错误；取a2，b3，c1，则acbc，ayz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析xyz且xyz0，x0，zz，xyxz.4设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20a0且ab，充分性成立；由abab0，当0ab时D/(ab)a20，必要性不成立5设(0，)，0，那么2的取值范围是()A(0
13、，) B(，)C(0，) D(，)答案D解析由题设得02，0，0，2b，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，则答案C解析当c0时，可知A不正确；当cb3且ab0且b成立，C正确；当a0且bb0，则下列不等式中一定成立的是()AabB.CabD.答案A解析取a2，b1，排除B，D；另外，函数f(x)x在(0，)上是增加的，但函数g(x)x在(0,1上是减少的，在1，)上是增加的，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.8若ab0，则下列不等式一定不成立的是()A.log2bCa2b22a2b2Db0(由ab0，得a
14、，b不能同时为1)，a2b22a2b20，a2b22a2b2，C项一定不成立 9.下列四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3答案A解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1.10已知a，b，cR，有以下命题：若ab，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c.其中正确命题的序号是_答案解析不对，因为c2可以为0；对，因为c20；对，因为2c0.11已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_答案abc解析alog23log2lo
15、g23，blog29log2log23，ab，又alog231，clog32c，故abc.12设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“”连接)答案zyx解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx. 13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解设该单位职工有n人(nN)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xnx，y2nx.所以y1y2xnxnxxnxx(1)当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当ny2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠
