1、专题突破练18概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021江苏泰州考前模拟)马林梅森(Marin Mersenne,15881648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p-1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p-1(其中
2、p是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是()A.37B.512C.1328D.19553.(2021新高考,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测
3、预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34,将T2,T3两个元件并联后再和T1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是.5.(2021河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为.三、解答题6.(2021江苏新高考基地学校
4、联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:规格中蟹大蟹特大蟹重量(单位:克)160,180)180,200)200,220)220,240)240,260)260,280数量(单位:只)32152073(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间260,280内的大闸蟹数量为X,求X的概率分布列和数学期望.7.(2021福建漳州模拟)随着5G通信
5、技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获
6、得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析 记事件A:电视机的显像管开关了10000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C解析 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个
7、不同的数共有C82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C21C61+C22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328.3.B解析 由已知得P(甲)=16,P(乙)=16,P(丙)=566=536,P(丁)=666=16,P(甲丙)=0,P(甲丁)=166=136,P(乙丙)=166=136,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)P(丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B.4.1532解析 T2,T3并联电路正常工作概率为1-1-341-34=1516,故电路不发生故障的概率为121516=1532.5.2572解析 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,
8、甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P(A)=1334+131-341213+1-131-123413=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150(1703+1902+21015+23020+2507+2703)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100000224446.(2)X的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P(X=0)=C30C74C104=16,P(X=1)=C31C73C104=12,P(X=2)=C32C72C104=310,P(X=3)=C33C71C104=130.分布列为:X0123P1612310130所以E(
9、X)=016+112+2310+3130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A,则P(A)=35C321221-121+C331231-120=310.(2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X,X可取0,1,2,3.则XB3,310,P(X=0)=C3031001-3103=3431000,P(X=1)=C3131011-3102=4411000,P(X=2)=C3231021-3101=1891000,P(X=3)=C3331031-3100=271000,随机变量X的分布列如下:X0123P343100044110001891000271000E(X)=03431000+14411000+21891000+3271000=910.或E(X)=3310=9105