1、数 列 结 束 压轴题命题区间(四)数 列数列的性质典例(1)(2017西安质检)对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列xn满足：x11，且对于任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x2 018()A7 564 B7 549C7 546 D7 539数 列 结 束 解析 数列xn满足x11，且对任意nN*点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，xn1f(xn)，由图表可得x2f(x1)3，x3f(x2)5，x4f(x3)6，x5f(x4)1，x6f(x5)3，数列xn是周期为4的周期数列，x1x2x2 0
2、18504(x1x2x3x4)x1x25041547 564故选A答案 A数 列 结 束 (2)(2016合肥质检)已知等比数列an的前n项和为Sn，若a212，a3a54，则下列说法正确的是()Aan是单调递减数列BSn是单调递减数列Ca2n是单调递减数列DS2n是单调递减数列数 列 结 束 解析由于an是等比数列，则a3a5a244，又a212，则a40，a42，q216，当q 66 时，an和Sn不具有单调性，选项A和B错误；a2na2q2n21216n1单调递减，选项C正确；当q 66 时，S2n不具有单调性，选项D错误答案 C数 列 结 束 方法点拨(1)解决数列的单调性问题的下三种
3、方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列用作商比较法，根据an1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解数 列 结 束 对点演练1(2016安徽皖江名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1an1an1，数列an的前n项和为Sn，则S2 016()A504 B588C588 D504数 列 结 束 解析：a12，an1an1an1，a213，a312，a43，a5
4、2，数列an是周期为4的周期数列，且a1a2a3a476，2 0164504，S2 01650476 588答案：C 数 列 结 束 2(2016全国乙卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析：设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q12又a1a1q210，a18故a1a2anan1q12(n1)23n1212nn22322nnn2 2722nn数 列 结 束 记tn22 7n2 12(n27n)12n722498，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664答案：64数 列
5、结 束 典例 如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”(1)设bn是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b11，b513依次写出bn的每一项；(2)设cn是2m1项的“对称数列”，其中cm1，cm2，c2m1是首项为a，公比为q的等比数列，求cn的各项和Sn数列的和数 列 结 束 解(1)设数列bn的前4项的公差为d，则b4b13d13d又因为b4b513，解得d4，所以数列bn为1,5,9
6、,13,13,9,5,1(2)由题意得，当q1时，Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2a1qm11q a而当q1时，Sn(2m1)aSn2m1a，q1，2a1qm11q a，q1.数 列 结 束 方法点拨(1)本题在求等比数列cn前n项和时可利用分类讨论思想(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论求数列|an|的前n项和要用到分类讨论数 列 结 束 对点演练(2016浙江高考)设数列an
7、的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解：(1)由题意得a1a24，a22a11，解得a11，a23.又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*数 列 结 束 (2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3913n213n7n223nn25n112，因为当n2时，也符合Tn3nn25n112所以Tn2，n1，3nn25n112，n2，nN
8、*.数 列 结 束 典例(1)已知数列an满足a13，且an14an3(nN*)，则数列an的通项公式为()Aan22n11 Ban22n11Can22n1 Dan22n1构造法求通项公式解析 由an14an3，得an114(an1)，故数列an1是首项为a114，公比为4的等比数列，所以an14n，所以an22n1答案 D数 列 结 束 (2)已知正项数列an中，a12，an12an35n，则数列an的通项an()A32n1B32n1C5n32n1D5n32n1解析法一：在递推公式an12an35n的两边同时除以5n1，得an15n125an5n35，令an5nbn，则式变为bn125bn3
9、5，即bn1125(bn1)，所以数列bn1是等比数列，数 列 结 束 其首项为b11a15 135，公比为25，所以bn135 25n1，即bn13525n1，所以an5n13525n1132n15n，故an5n32n1法二：设an1k5n12(ank5n)，则an12an3k5n，与题中递推公式比较得k1，即an15n12(an5n)，所以数列an5n是首项为a153，公比为2的等比数列，则an5n32n1，故an5n32n1答案 D数 列 结 束 方法点拨利用构造法求解数列的通项公式，关键在于递推关系的灵活变形，当an与an1的系数相同时，主要是通过构造等差数列或利用累加法求通项；若两者
10、的系数不同，则应构造等比数列或利用作商之后再累乘的方法求解求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定累加、累乘最后一个式子的形式本题的递推公式是an1ann的推广an1ann，两边同时除以n1后得到an1 n1ann，转化为bn1kbn的形式，通过构造公比是的等比数列bn1k 求解数 列 结 束 对点演练1已知数列an中，a11，an1 anan3(nN*)，则an_解析：因为an1 anan3(nN*)，所以 1an1 3an1，设 1an1t31ant，所以3tt1，解得t12，所以 1an11231an12，又 1a11211232，所以数列1an12 是以32为首项，3为公比的等比数列，所以 1an12323n13n2，所以an23n1答案：23n1数 列 结 束 2设数列an满足a12，an14an32n1，则an_解析：由a12，an14an32n1得，an12n12an2n 3，设bnan2n，则bn12bn3，设bn1t2(bnt)，所以2tt3，解得t3，数 列 结 束 所以bn132(bn3)，所以bn13bn3 2，又b13a12 3134，所以数列bn3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn342n12n1，所以bn2n13，所以anbn2n(2n13)2n22n132n答案：22n132n升级增分训练点击此处