1、专题强化训练(十三)立体几何一、选择题12019南昌重点中学一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为()A13B12C11D2解析：依题意，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为(12)26，圆锥的侧面积为122，所以题中几何体的表面积为622212，选B.答案：B22019开封定位考试某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D1解析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，其高为1，底面是一个等
2、腰直角三角形，所以该几何体的体积V221，故选C.答案：C32019安徽示范高中已知三棱锥PABC中，AB平面APC，AB4，PAPC，AC2，则三棱锥PABC外接球的表面积为()A28B36C48D72解析：解法一：因为PAPC，AC2，所以PAPC.因为AB平面APC，所以ABAC，ABPC，又PAABA，所以PC平面PAB，所以PCPB，则BCP，ABC均为直角三角形如图，取BC的中点为O，连接OA，OP，则OBOCOAOP，即点O为三棱锥PABC外接球的球心在RtABC中，AC2，AB4，则BC6，所以外接球的半径R3，所以三棱锥PABC外接球的表面积S4R236，故选B.解法二：因为
3、PAPC，AC2，所以PAPC，ACP为直角三角形如图，取AC的中点为M，则M为PAC外接圆的圆心过M作直线n垂直于平面PAC，则直线n上任意一点到点P，A，C的距离都相等因为AB平面PAC，所以AB平行于直线n.设直线n与BC的交点为O，则O为线段BC的中点，所以点O到点B，C的距离相等，则点O即三棱锥PABC外接球的球心因为AB平面PAC，所以ABAC，又AC2，AB4，所以BC6，则外接球的半径R3，所以三棱锥PABC外接球的表面积S4R236，故选B.解法三：因为PAPC，AC2，所以PAPC，又AB平面PAC，所以可把三棱锥PABC放在如图所示的长方体中，此长方体的长、宽、高分别为，
4、4，则三棱锥PABC的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体的体对角线的长为6，则外接球的半径R3，所以三棱锥PABC外接球的表面积S4R236，故选B.答案：B42019唐山摸底已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A1B3C2D4解析：由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S22(11)2114.故选D.答案：D52019山西第一次联考如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最大的面积是()A2B.C.D2解
5、析：由三视图可知，该几何体为四面体，记为四面体ABCD，将其放入长方体中，如图，易知长方体的高为1，ABBC，ADDC，ABAD2，则BD2，BCDC，所以SABD222，SABCSADC2，SBDC2，所以BDC的面积最大，为，故选C.答案：C62019武昌调研如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为()A.B16C32D48解析：由三视图知，该四面体可以看作是正方体中的三棱锥PABC，如图，由已知可得AB4，AC4，ABC是直角三角形，所以SABCABAC448，所以四面体PABC的体积V84，故选A.答案：A72019洛阳联考四棱锥SABCD的所
6、有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于()A.B.C16D.解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥如图，连接AC，则球心O为AC的中点，连接SO，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，ABBCR.取AB的中点为E，连接OE，SE，则OEBCR，SER.该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，(R)24RR88，解得R2，球O的体积等于R3.故选A.答案：A82019长沙一模在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面过点A，且AC1，平面ABCDl1，平面过点A1，且A1C，
7、平面AA1D1Dl2，则直线l1，l2所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，易得AC1平面A1BD，因为AC1，所以平面A1BD.又平面ABCDl1，平面A1BD平面ABCDBD，所以l1BD.易得AC1，所以平面AB1D1.又平面AA1D1Dl2，平面AB1D1平面AA1D1DAD1，所以l2AD1，所以l1与l2所成的角就是AD1与BD所成的角又AD1BC1，所以DBC1就是l1与l2所成的角因为BDC1是正三角形，所以DBC160，cosDBC1，故选D.答案：D92019郑州质量预测一已知三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB
8、AC，点M，N分别是边AB1，AC1上的动点，若直线MN平面BBC1B1，Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为()A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分解析：如图，分别取AA1，B1C的中点E，F，任意作一个与平面BCC1B1平行的平面与AB1，A1C分别交于M，N，则MN平面BCC1B1.由题意知ABC为等腰直角三角形，ABAC，则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的，因此EF必过MN的中点Q，故点Q的轨迹为线段EF，但需去掉端点F，故选C.答案：C102019武昌调研已知正三
9、棱锥SABC的各顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为()A10B25C100D125解析：如图，设O1为正三棱锥SABC的底面中心，连接SO1，则SO1是三棱锥的高，三棱锥的外接球的球心O在SO1上，设球的半径为R，连接AO1，AO，因为正三角形ABC的边长为2，所以AO122，因为SA2，所以在RtASO1中，SO14，在RtAOO1中，R2(4R)222，解得R，所以球O的表面积为4225，故选B.答案：B112019山西第一次联考在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BC1与底面所成角的正切值为，三棱柱的各顶点均在半径为2的球O的球
10、面上，且AC2，ABC60，则三棱柱ABCA1B1C1的体积为()A4B.C4D.解析：在三角形ABC中，AC2，ABC60，所以三角形ABC的外接圆半径r.设三角形ABC外接圆的圆心为O1，连接OO1，OA，O1A，则OO1平面ABC，OO1AA1，O1Ar，OA2，所以22r22，得AA1.因为AA1平面ABC，AA1CC1，所以CC1平面ABC，所以BC1与底面ABC所成的角是C1BC，所以tanC1BC，得BC2，因此三角形ABC是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCAA144.故选C.答案：C122019福建五校联考已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积
11、为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点若平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为()A.B.C.D.解析：易知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.若M为BC的中点，则MNAD1，所以此时截面为四边形AMND1，所以BM符合题意若0BM，如图1，作BPMN交CC1于点P，再作PQC1D1交DD1于点Q，连接AQ，易知MNAQ，所以此时截面为四边形AMNQ，所以0BM符合题意若BM0)，则ABC的边长为a，过点P作PO面ABC于O，PAO即为侧棱PA与底面所成的角，则O为ABC的中心ADBC，则ADa，AOADa，Rt
12、POA中，cosPAO，sinPAO.答案：162019湖南四校联考在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥SABCD体积的取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是_解析：在四棱锥SABCD中，由条件知ADSA，ADAB，SAABA，所以AD平面SAB，所以平面SAB平面ABCD.过S作SOAB于点O，则SO平面ABCD.设SAB，则VSABCDS正方形ABCDSOsin，所以sin，又(0，)，所以，所以cos.在SAB中，SAAB2，所以SB2，所以SAB的外接圆半径r.将该四棱锥补成一个以SAB为一个底面的直三棱柱，得
13、其外接球的半径R，所以该四棱锥外接球的表面积S4R24.答案：172019江西五校联考某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为_解析：把三视图还原成几何体ABCDEF，如图所示，在AD上取点G，使得AG2，连接GE，GF，则把几何体ABCDEF分割成三棱柱ABCGEF和三棱锥DGEF，所以VABCDEFVABCGEFVDGEF4242.答案：182019广州调研已知在四面体ABCD中，ADDBACCB1，则该四面体的体积的最大值为_解析：解法一：如图，设AB的中点为P，连接PC，PD，因为ADDB，ACCB，所以A
14、BPD，ABPC，又PCPDP，所以AB平面PCD.设AB2x(0x1)，则PCPD.于是，V三棱锥ABCDV三棱锥APCDV三棱锥BPCDSPCDAPSPCDBPSPCDAB2x()2sinCPDx()2.因为x()2，所以V三棱锥ABCD，当且仅当sinCPD1且2x21x2，即平面ABD平面ABC且AB时，不等式取等号故所求四面体的体积的最大值为.解法二：如图，设AB的中点为P，连接PC，PD，因为ADDB，ACCB，所以ABPD，ABPC，又PCPDP，所以AB平面PCD.设AB2x(0x1)，则PCPD.于是，V三棱锥ABCDV三棱锥APCDV三棱锥BPCDSPCDAPSPCDBPS
15、PCDAB2x()2sinCPDx()2.设函数f(x)x()2(xx3)，0x1，则f(x)x2，所以当0x0；当x1时，f(x)0.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxf.从而V三棱锥ABCD，当且仅当sinCPD1且x，即平面ABD平面ABC且AB时，不等式取等号故所求四面体的体积的最大值为.答案：192019安徽五校质检二已知球O与棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是ACB1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是_解析：因为球O与棱长为4的正方体的各棱都相切，所以球O的半径为2，球心O为体对角线的中点，ACB1的
16、外接圆是正方体外接球的一个小圆，点N是ACB1的外接圆上一点，则点N到球心O的距离为2(即正方体外接球的半径)，因为点M是球O上一点，所以线段MN长度的最小值为22，线段MN长度的最大值为22，所以线段MN长度的取值范围为22，22答案：22，22202019石家庄质检如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB1，APBBAD，则三棱锥PAOB的外接球的体积是_解析：四边形ABCD是菱形，ACBD，即OAOB.PB平面ABCD，PBAO，又OBPBB，AO平面PBO，AOPO，即PAO是以PA为斜边的直角三角形PBAB，PAB是以PA为斜边的直角三角形，三棱锥PAOB的外接球的直径为PA.PB1，APB，PA2，三棱锥PAOB的外接球的半径为1，三棱锥PAOB的外接球的体积为.答案：