1、第一章 章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1三角形解的个数的确定(易错点)已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，无解；若sin B1，一解；若sin B1，两解(2)利用余弦定理讨论： 已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，这是关于c的一元二次方程若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正
2、数解，则三角形有两解2三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系如：sin Asin BAB；sin (AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A(R为ABC外接圆半径)，cos A等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断 3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决其基本解题思路是：首先分析此题
3、属于哪种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答解题时还要注意近似计算的要求(对应学生用书P22)专题一利用正、余弦定理解三角形(自主研析)例1ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面积自主解答(1)由余弦定理得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由正弦定理已知条件可化为b2a，联立方程组
4、解得a，b，所以ABC的面积Sabsin C.归纳升华正、余弦定理应用需注意的三个方面(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形(3)求值时注意方程思想的运用变式训练ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B
5、45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，C180457560，cb2.专题二判断三角形的形状问题例2在ABC中，如果lg alg clg sin Blg，且B为锐角，试判断此三角形的形状解：因为lg sin Blg，所以sin B，又因为0B90，所以B45.由lg alg clg，得.由正弦定理得即2sin(135C)sin C，即2(sin 135cos Ccos 135sin C)sin C所以cos C0，得C90，又因为A45，所以B45，从而ABC是等腰直角三角形归纳升华利用正、余弦定理判断三角形形状的方法主要有两
6、种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过角之间的关系判断形状利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化为边的关系或转化为角的关系变式训练在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解：法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因为B60，所以AC120.所以2sin 60sin(120C)sin C.展开整理得sin Ccos C1.所以sin(C30)1.因为0C120，所以C3090.所以C60.故A60.所以ABC为等边三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.因为B60，b，所以a2c22accos 60，化简得(ac)20，
7、所以ac.又B60，所以abc.所以ABC为等边三角形专题三正、余弦定理的实际应用例3航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为180 km/h，飞机先看到山顶的俯角为15，经过420 s后又看到山顶的俯角为45，求山顶的海拔高度(取1.4，1.7)解：如图所示，根据题意可得A15，DBC45，所以ACB30，AB18021(km)21 000(m)所以在ABC中，所以BCsin 1510 500()(m)因为CDAD，所以CDBCsinCBD10 500()10 500(1)10 500(1.71)7 350(m)，所以，山顶的海拔高度10 00
8、07 3502 650(m)归纳升华正、余弦定理与三角函数的综合应用(1)以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型在具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的(2)解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题在高考中，出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件，这些知识一般只起到“点缀”作用，难度较小变式训练(1)如图所示，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分
9、钟，从D沿DA走到A用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)(2)在ACB中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3，求：a和c的值；cos(BC)的值(1)解：法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得CD500 米，DA300 米，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445 (米)法二：连接AC，作OHAC，交AC于点H，由题意，得CD500米，AD300米，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002，所以AC700(米)cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，所以OA445(米)(2)解：由2，得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c2322613.解得或因为ac，所以a3，c2.在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.