1、考点规范练 49 椭圆 基础巩固 1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为()A.2169+2144=1 B.2144+2169=1 C.2169+225=1 D.2144+225=1 答案:A 解析:由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆方程为2169+2144=1.2.已知椭圆29+24+=1 的离心率为45,则 k 的值为()A.-1925 B.21 C.-1925或 21 D.1925或 21 答案:C 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c=5-,由=45,即5-3=45,
2、得 k=-1925;若 a2=4+k,b2=9,则 c=-5,由=45,即-54+=45,解得 k=21.3.若曲线 ax2+by2=1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足()A.a2b2 B.1 1 C.0ab D.0b10,所以 0a|MN|,由椭圆定义知,动点 P 的轨迹是椭圆.6.已知 F1,F2是椭圆22+22=1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点 P 使得 PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55,1)B.22,1)C.(0,55 D.(0,22 答案:B 解析:F1,F2是椭圆22+22=1(ab0)的左、右两个焦点,离心率 0e1,F1(-c,
3、0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点 P(x,y),由 PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,化简得 x2+y2=c2,联立方程组2+2=2,22+22=1,整理,得 x2=(2c2-a2)22 0,解得 e 22,又 0e1,22 e0,y00),则12=12|F1F2|y0=4y0.又12=12 4 82-22=415,4y0=415,解得 y0=15.又点 M 在椭圆 C 上,0236+(15)220=1,解得 x0=3 或 x0=-3(舍去).点 M 的坐标为(3,15).8.(2020 全国,理 20)已知 A,B 分别为椭圆 E:22+y2=1(a1)的左、右顶
4、点,G 为 E 的上顶点,=8.P 为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求椭圆 E 的方程;(2)证明:直线 CD 过定点.答案:(1)解由题设得 A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由 =8 得 a2-1=8,即 a=3.所以椭圆 E 的方程为29+y2=1.(2)证明设 C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若 t0,设直线 CD 的方程为 x=my+n,由题意可知-3nb0)的离心率为63,焦距为 22.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B.(1)求椭圆
5、 M 的方程;(2)若 k=1,求|AB|的最大值;(3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D,若 C,D 和点 Q(-74,14)共线,求 k.解:(1)由题意得2=2+2,=63,2=22,解得 a=3,b=1.所以椭圆 M 的方程为23+y2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由=+,23+2=1,得 4x2+6mx+3m2-3=0,所以 x1+x2=-32,x1x2=32-34.所以|AB|=(2-1)2+(2-1)2=2(2-1)2=2(1+2)2-412=12-322
6、.当 m=0,即直线 l 过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得12+312=3,22+322=3.直线 PA 的方程为 y=11+2(x+2).由=11+2(+2),2+32=3,得(x1+2)2+312x2+1212x+1212-3(x1+2)2=0.设 C(xC,yC),所以 xC+x1=-1212(1+2)2+312=412-1241+7.所以 xC=412-1241+7-x1=-12-7141+7.所以 yC=11+2(xC+2)=141+7.设 D(xD,yD),同理得 xD=-12-7242+7,yD=242+7.记直线 CQ,
7、DQ 的斜率分别为 kCQ,kDQ,则 kCQ-kDQ=141+7-14-12-7141+7+74242+7-14-12-7242+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为 C,D,Q 三点共线,所以 kCQ-kDQ=0.故 y1-y2=x1-x2.所以直线 l 的斜率 k=1-21-2=1.能力提升 10.已知 P 是椭圆225+22=1(0bb0)的焦点为 F1,F2,若椭圆上存在满足1 2=22 的点 P,则椭圆的离心率的范围是 .答案:33,1)解析:椭圆的焦点为 F1,F2,椭圆上存在满足1 2=22 的点 P,|1|2|cos=22,4c2=1 2+2 2-2|1|2|cos,
8、|1|+|2|=2a,可得1 2+2 2+2|1|2|=4a2,4c2=4a2-2|1|2|-b2.2|1|2|=3a2-3c22(|1|+|2|2)2,当且仅当|1|=|2|时,等号成立.可得22 13,解得 e 33.又 0e1,e 33,1).12.(2020 全国,理 20)已知椭圆 C:225+22=1(0m0,由题意知 yP0.由已知可得 B(5,0),直线 BP 的方程为 y=-1(x-5),所以|BP|=yP1+2,|BQ|=1+2.因为|BP|=|BQ|,所以 yP=1,将 yP=1 代入 C 的方程,解得 xP=3 或-3.由直线 BP 的方程得 yQ=2 或 8.所以点
9、P,Q 的坐标分别为 P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线 P1Q1的方程为 y=13x,点 A(-5,0)到直线 P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为12 102 10=52.|P2Q2|=130,直线 P2Q2的方程为 y=79x+103,点 A 到直线 P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为12 13026 130=52.综上,APQ 的面积为52.高考预测 13.椭圆 E:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2作垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 E 在第一象限交于点 P,若|PF1|=5,
10、且 3a=b2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)A,B 是椭圆 C 上位于直线 l 两侧的两点.若直线 AB 过点(1,-1),且APF2=BPF2,求直线 AB 的方程.解:(1)由题意可得|PF2|=2=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得 a=4,所以 b2=12,故椭圆 E 的方程为216+212=1.(2)易知点 P 的坐标为(2,3).因为APF2=BPF2,所以直线 PA,PB 的斜率之和为 0.设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 PA 的方程为 y-3=k(x-2),由-3=(-2),216+212=1 可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以 x1+2=8(2-3)3+42,同理直线 PB 的方程为 y-3=-k(x-2),可得 x2+2=-8(-2-3)3+42=8(2+3)3+42,所以 x1+x2=162-123+42,x1-x2=-483+42,kAB=1-21-2=(1-2)+3+(2-2)-31-2=(1+2)-41-2=12,所以满足条件的直线 AB 的方程为 y+1=12(x-1),即为 x-2y-3=0.