1、本章复习提升易混易错练易错点1对向量概念理解不清致误1.()下列命题正确的是()A.单位向量都相等B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行2.()若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则下列不等式恒成立的为()A.|2b|a-2b|B.|2b|2a-b|D.|2a|AC,|a-b|+|b|a-2b|,|2b|a-2b|.故选A.3.B由题意得OP=(2m-2,6-4m),点P在y轴上,2m-2=0,m=1,故选B.4.A由题意得BA=(-2,-2),BC=BA+AC=(-2,-2)+(2,1)=(
2、0,-1).易错警示由原点出发的向量其终点坐标才是向量的坐标;任意向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标.5.解析(1)设点B的坐标为(x1,y1).AB=(4,3),A(-1,-2),(x1+1,y1+2)=(4,3),x1+1=4,y1+2=3,x1=3,y1=1,B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=3-42=-12,y2=1-32=-1,中点M的坐标为-12,-1.(2)结合(1)得PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又PB=BD(R),(1,1-y)=(-7,-4),则1=
3、-7,1-y=-4,=-17,y=37.6.Bm=(0,-2),n=(3,1),2m+n=(3,-3),结合选项知B正确.7.A由题意得AB=(2,4),BC=(x-1,2),因为ABBC,所以4(x-1)=22,解得x=2.故选A.8.答案解析当e1,e2共线时,存在R使得e1=e2,所以a=3e1+4e2=(3+4)e2,b=6e1-8e2=(6-8)e2,当43时,a=3+46-8b,a与b共线;当=43,b=0时,a与b也共线.当e1,e2不共线时,假设存在R使得b=a,则6e1-8e2=3e1+4e2,因为3=6,4=-8无解,所以a与b不共线.9.D依题意知,点M是线段AC的中点,
4、也是线段BD的中点,所以OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OC+OB+OD=4OM,故选D.10.BOP=3OA-OB2,2OP=3OA-OB,2OP-2OA=OA-OB,即2AP=BA,AP=12BA,则点P在线段AB的反向延长线上.11.答案32d-c解析连接BE,CF,交于点O,如图所示,则CD=AD-AC=d-c.由正六边形的性质,得OE=BO=CD=d-c,又因为AO=12AD=12d,所以AE=AO+OE=12d+(d-c)=32d-c.易错警示向量的加法运算应严格按平行四边形法则或三角形法则进行;向量的减法运算则应按三角形法则进行.向量进行加法运算时,若以三角形法
5、则进行,应当将求和向量首尾相接;向量进行减法运算时,必须把两个向量移到共同起点.12.CBE=BA+AE=BA+14AC=BA+14(AB+AD)=34CD-14CB,AF=AD+DF=-CB-12CD,由可得CD=8BE-2AF7,CB=-4BE-6AF7, 所以CO=12(CB+CD)=27BE-47AF ,故选C.13.B因为CP=23CB,即AP-AC=23(AB-AC),所以AP=13AC+23AB=13(AD+DC)+23AB=13AD+13AB+23AB=13AD+79AB,故选B.易错警示在向量的分解运算中,严格按三角形法则,平行四边形法则,多边形法则进行,同时要用到数乘.在运
6、算过程中,易错点是法则应用不正确或因向量方向导致数乘向量的系数错误.思想方法练1.A结合图形,利用向量知识,应用三角形法则解题.如图,OP=OA+AP,OQ=OB+BQ,AP=-BQ,OP+OQ=OA+OB=a+b.2.证明结合图形,根据点的位置关系得到相关向量的关系.作出平行四边形ABCD,如图所示.由已知得BD=BA+BC,又点N在线段BD上,且BN=13BD,BN=13BD=13(BA+BC)=13BA+13BC.又点M是AB边的中点,BM=12BA,即BA=2BM,BN=23BM+13BC,23BN-23BM=13BC-13BN,即23MN=13NC.MN=12NC,M、N、C三点共线
7、.3.解析如图,延长OB至B1,使BB1=OB,延长OC至C1,使CC1=2OC,连接AB1,AC1,B1C1,B1C.则OB1=2OB,OC1=3OC,OA+2OB+3OC=0,OA+OB1+OC1=0,点O是AB1C1的重心.根据向量关系构造三角形AB1C1.从而SB1OC1=SC1OA=SAOB1=13SAB1C1,SCOA=19SAB1C1,SAOB=16SAB1C1,SBOC=12SB1OC=1213SB1OC1=118SAB1C1,SBOCSCOASAOB=1181916=123.4.证明由题意可得BA=BO+BC,因为B、E、A三点共线,所以可设BE=kBA(kR),则BE=kB
8、O+kBC,又O、E、D三点共线,所以存在唯一实数对、(,R),使得BE=BO+BD,且+=1.又BD=13BC,BE=BO+13BC,应用方程的思想方法.根据得k=,k=13,+=1,解得k=14,=14,=34.BE=14BA,BE=14BA.5.解析AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0,AQ+3QP+2BQ+3CP=0,又A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,存在,R,使得AQ=BQ,CP=QP,BQ+3QP+2BQ+3QP=0,(+2)BQ+(3+3)QP=0.而BQ,QP为不共线向量,+2=0,3+3=0,解得=-2,=-1.应用方程思想
9、得到关于与的方程.CP=-QP=PQ=p.故CQ=CP+PQ=2p.6.解析B,P,M三点共线,存在实数s,使得BP=sPM,应用三角形法则将BP转化为OP-OB,PM转化为OM-OP.则OP-OB=s(OM-OP),即OP=11+sOB+s1+sOM,即OP=11+sOB+s3(1+s)OA=s3(1+s)a+11+sb.同理,存在实数t,使AP=tPN,则OP=11+ta+t4(1+t)b.将向量问题转化为方程问题.a,b不共线,11+t=s3(1+s),t4(1+t)=11+s,解得s=92,t=83,OP=311a+211b.7.解析(1)设OM=ma+nb(m,nR),则AM=(m-
10、1)a+nb,AD=-a+12b.点A、M、D三点共线,AM与AD共线,将三点共线转化为向量平行.存在实数,使得AM=AD,即(m-1)a+nb=-a+12b,又a,b不共线,m-1=-,n=12,即m+2n=1.C,M,B三点共线,CM与CB共线,存在实数,使得CM=CB,又CM=OM-OC=m-14a+ nb,CB=-14a+b,m-14a+nb=-14a+b,又a,b不共线,m-14=-14,n=,将向量问题转化为方程问题.即4m+n=1.联立可得m=17,n=37,OM=17a+37b.(2)证明:EM=OM-OE=17-pa+37b,EF=OF-OE=-pa+qb,由题知E、F、M三点共线,EF与EM共线,存在实数t,使得EM=tEF,将三点共线转化为数乘向量,即17-pa+37b=t(-pa+qb),a,b不共线,17-p=-pt,37=tq,-17p+1=37q,即17p+37q=1.思想方法转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.转化与化归思想在平面向量部分常表现为:将平面几何中的一种位置关系转化为两向量的线性关系等.11