1、梅河口市第五中学20222023学年度下学期期末考试高二数学试题说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至4页，第卷5至6页，共6页。满分150分，考试时间120分钟。第卷（选择题，共80分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
2、选项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）1设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件2我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（）ABCD3已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A3B4C5D64我国古代数学著作算法统宗中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值关于该问题，下列结论正确的是（）AB此人第三天
3、行走了一百一十里C此人前七天共行走了九百里D此人前八天共行走了一千零八十里5如图，圆内有一点，为过点的弦，若弦被点平分时，则直线的方程是（）ABCD6直线与椭圆交于，两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）ABCD7已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（）A1B3C2D48过直线上一点作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为（）ABCD9已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（）A3B4C5D610对于数列，定义为的“优值”现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（）A
4、BCD的最小值为二、多选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请仔细审题，认真做答）11已知点在圆上，直线，则（）A直线过定点B存在实数，使直线与圆相切C直线与圆相交的弦长取值范围为D点到直线距离的取值范围为12已知双曲线，两个焦点记为，下列说法正确的是（）AB离心率为C渐近线方程为：D点在双曲线上且线段的中点为，若，则13已知圆和圆的交点为，则（）A两圆的圆心距B圆上存在两点和使得C直线的方程为D圆上的点到直线的最大距离为14已知椭圆的左、右两个端点分别为，为椭圆上一动点，则下列说法
5、不正确的是（）A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为715设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）ABCD为等比数列16已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A若，则B以为直径的圆与相切C设，则D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条第卷（非选择题，共70分）三、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分。请将答案直接填写在答题卡内指定处。）17若，则_18若直线与直线平行，则_19已知数列满足，则_20抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为_21已知动点，分别在圆和圆上，动点在直线上，则的最小值是
6、_22双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为_23已知在数列中，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为_四、解答题（本大题共3小题，第24题10分，第25题10分，第26题15分，共35分。）24在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，是的中点，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值25已知各项均不为零的数列满足，且（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）令，为数列的前项和，求26已知椭圆过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍（1）求椭圆的方程；（2）设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点，直线，分别交直线于点，求
7、证为定值参考答案1C直线与直线垂直则，解得或，2D，所以3D4D设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得，解得，5D当弦被点平分时，直线与直线垂直，因为，所以，则直线的方程为，即6A记椭圆的左焦点为，由对称性可知：四边形为平行四边形，；，四边形为矩形，又，又，椭圆的离心率7B设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，则根据抛物线定义知，又，所以，设，因为，所以，则所以，又，可得，所以，所以，可得，即8D如图，由切线性质可知，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，要使最小，需使，故9A设为第一象限的交点，则由椭圆和双曲线的定义可知，在中由余弦定理得：即：，即
8、：当且仅当，即时，取得最小值为310B由题意可知，则，当时，当时，-得，解得，当时也成立，A正确；，B错误；，当时，即，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，CD正确11AC直线，令，解得，即直线过定点，故A正确；由，故点在圆内，则直线过圆内定点，即直线与圆相交恒成立，且点到直线距离最小值为0，圆心，定点，则，则圆心到直线距离的最大值为，此时弦长取最小值为，弦长最大值为圆的直径为412AB13CD由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距，故A错误；将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长
9、的弦；圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为14AC对于A，因为椭圆，所以，则，所以的周长为，故A错误；对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故B正确；对于C，假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点使得，故C错误；对于D，由选项A易得，又，所以，所以，故D正确15BCD，则，即，数列是以首项，公比的等比数列，则，又，显然不符合上式，则，16AC取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于
10、选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，根据抛物线的性质，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项错误；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误17182因为，所以，所以或当时，重合；当时，符合题意故答案为：219【详解】求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，所以，从而是以6为周期的周期数列20721解：由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，如图
11、，设点关于直线对称的点为，所以，解得，即，所以，所以，即的最小值是故答案为：222联立可得则，因为点、关于轴对称，且为线段的中点，则又因为为等腰直角三角形，所以，即，即，所以，可得，因此，该双曲线的离心率为234由题意，知是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以所以，所以，解得24（1）证明见详解（2）（1）如图1，连接，设与交于点，连接因为底面是菱形，所以为的中点，又是的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如图2，取的中点在中，为的中点，所以，所以因为平面底面，平面底面，所以底面，又底面，所以在菱形中，所以与是等边三角形，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，则所以直线与平面所成角的正弦值25（1）证明见解析，（2）（1）由，得，又，是首项为5，公差为3的等差数列，故（2）由（1）知，所以，-得：，26（1）（2）证明见解析（1）依题意知，椭圆的方程为，又椭圆过点，有，解得，椭圆的方程为（2）点与点关于原点对称，点，当直线与轴重合时，不妨设，则直线，直线，则，（定值）当直线与轴不重合时，设直线，与椭圆方程联立，化简得，解得设，则，直线的方程为，则，即直线的方程为，则，即（定值）综上，为定值1