1、1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，
2、c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()1(2016全国乙卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于()A3 B2 C2 D3答案A解析(12i)(ai)a2(2
3、a1)i，a22a1，解得a3，故选A.2(2015课标全国)已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2i B2i C2i D2i答案C解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i答案C解析A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.4(教材改编)在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34i答案D解析13i(2i)34i.5i2
4、011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.答案1解析原式i3i4i1i2i3i4i1.题型一复数的概念例1(1)(2015福建)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A3，2 B3,2C3，3 D1,4(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件(3)(2016天津)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_答案(1)A(2)A(3)1解析(1)(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选
5、A.(2)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件(3)(1i)z2，z1i，其实部为1.引申探究1将本例(1)中方程左边改为(1i)(23i)，求a，b的值解(1i)(23i)23i5iabi，所以a5，b1.2将本例(3)中的条件“(1i)z2”改为“(1i)3z2”，求z的实部解zi，z的实部为.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(1)已知aR，复数
6、z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A1 Bi C. D0(2)如果复数是实数，则实数m等于()A1 B1 C D.答案(1)A(2)A解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)因为是实数，所以0，所以m1，故选A.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2016四川)设i为虚数单位，则复数(1i)2等于()A0 B2 C2i D22i(2)(2016全国乙卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|等于()A1 B. C. D2(3)(2015课标全国)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a等于()A1 B0 C1 D2答案(1)C
7、(2)B(3)B解析(1)(1i)212i22i112i2i.(2)由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|，故选B.(3)因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0，故选B.命题点2复数的除法运算例3(1)(2016全国丙卷)若z12i，则等于()A1 B1 Ci Di(2)(2016北京)复数等于()Ai B1i Ci D1i(3)()6_.答案(1)C(2)A(3)1i解析(1)z12i，z5，i.(2)i.(3)原式6i61i.命题点3复数的综合运算例4(1)(2016山东)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z等于()A12
8、i B12iC12i D12i(2)(2016全国丙卷)若z43i，则等于()A1 B1C.i D.i(3)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.答案(1)B(2)D(3)D解析(1)设zabi(a，bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i，故选B.(2)z43i，|z|5，i.(3)设zabi，故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，所以解得b.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，
9、分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的(1)(2015山东)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z等于()A1i B1i C1i D1i(2)2 017_.(3)2 017_.答案
10、(1)A(2)i(3)(1)i解析(1)i(1i)1i，z1i，故选A.(2)()2 0172 017i2 017i.(3)()2 017()()21 008ii1 008(1i)(1)i.题型三复数的几何意义例5(1)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A内心 B垂心C重心 D外心答案D解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：、所表示的复数；对角线所表示的复数；B点对应的复数解，所表示的
11、复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a
12、6，实数a的取值范围是(2,6)24解决复数问题的实数化思想典例(12分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思想方法指导(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解规范解答解设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，3分代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，5分根据复数相等得7分解得或或或9分故所求复数为或或或12分1若复数z(x21)(x
13、1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0 C1 D1或1答案A解析由复数z为纯虚数，得解得x1，故选A.2(2017天津质检)已知i为虚数单位，aR，如果复数2i是实数，则a的值为()A4 B2 C2 D4答案D解析2i2i2ii(2)i，aR，20，a4.3若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BF CG DH答案D解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.4(2017南昌月考)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析方法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z)i2b
14、i22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.5设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A1 B2 C3 D无数个答案C解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素6集合M4，3m(m3)i(其中i为虚数单位)，N9,3，若MN，则实数m的值为()A1 B3C3或3 D3答案D解析由题意可知3m(m3)i必为实数，则m3，经检验符合题意*7.对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x
15、|y|答案D解析|z|x|y|，故选D.8复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_答案(，)解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，mb，则aibi；若aR，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析由复数的概念及性质知，错误；错误；若a1，则(a1)i0，错误；z31(i)31i1，正确13计算：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.14复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.*15.若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.z是实数，b0.又b0，a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，a3b0.由得解得或故存在虚数z，z12i或z2i.