1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2一元二次不等式及其解法第1课时教学过程推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.例如2x2-3x-20，3x2-6x-2，-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么
2、关系呢？思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y0？当x为何值时，y0？它的对应值表与图象如下：x22.533.544.55y-3-2-10123由对应值表与图象（如上图）可知：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x3.5时，y0，即2x-70；当x3.5时，y0，即2x-70.师 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）当a0时，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.当a0时，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式
3、ax+b0的解集是x|xx0.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？生 函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.a0a0一次函数y=ax+b(a0)的图象一元一次方程ax+b=0的解集x|x=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式
4、的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y0？当x为何值时，y0？当时我们又是怎样解决的呢？生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：x-10123456y60-4-6-6-406由对应值表与图象（如上图）可知：当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0x5时，y0，即x2-5x0；当x0或x5时，y0，即x2-5x0.这就是说，若抛物线y=x 2-5
5、x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.教师精讲由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设其判别式为=b2-4ac
6、，它的解按照0,=0，0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a0)与x轴有两个交点图（1），即方程ax 2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实根x1，x2（x1x2）,则不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x1xx2.（2）若=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴只有一个交点图（2），即方程ax2+
7、bx+c=0(a0)有两个相等的实根x1=x2=,则不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.(3)若0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴没有交点图(3)，即方程ax2+bx+c=0(a0)无实根，则不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是R；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.=b2-4ac0=00二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xRax2+bx+c0的解集x|x1xx2对于二次项系数是负数（即a0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数
8、，再求解.知识拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30.生 解：因为0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x，或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解：整理化简得3x 2-15x+120.因为0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.生 解：因为=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30.生 解：整理化简，得x2-2x+30.因为0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的
9、解集是.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：0时，求根x1x2，=0时，求根x 1=x 2=x 0，0时，方程无解，（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.学生活动过程方法引导上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.课堂小结1.一元二次不等
10、式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区 一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤 例题3.2一元二次不等式的解法第2课时教学过程推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 1100的问题.因为0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1-88.94,x279.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-
11、7 110,由图象得不等式的解集为x|x-88.94或x79.94.在这个实际问题中x0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？生 设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x6 000.移项、整理得x2-110x+3 0000.教师精讲因为=1000，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实
12、数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为x|50x60.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.知识拓展【例3】 解不等式(x-1)(x+4)0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组与的解集的并集，即 x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0或x或-4x1-4x1，原不等式的解集是x|-4x1.思路三：由于不
13、等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4），（-4，1），（1，+）.分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x1.点评：此法叫区间法，解题步骤是：将不等式化为(x-x1)(x-x 2)(x-xn)0(0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分
14、界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-60；(2)(x-1)(x+2)(x-3)0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)0.答案：(1)x|x2或x3；(2)x|-2x1或x3；(3)x|-1x0或2x3.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为-2，1，3
15、；列表如下：（-，-2）（-2，1）（1，3）（3，+）x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为x|-2x1或x3.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y0或y0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-x n)0(0)的形式，并将各因式x的系数化“+”
16、；求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)0.解：将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)0；求得相应方程的根为-1，0，2，3；在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：原不等式的解集为x|-1x0或2x3.合作探究师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中x
17、的符号均正；求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为x|-1x2或2x3.说明：3是三重根，在C处穿三次，2是二重根.在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.解：将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如右图：
18、原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.教师精讲师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.师 分式不等式的解法.由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)g(
19、x)的形式.【例5】 解不等式：.解法一：化为两个不等式组来解.0或x或-7x3-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.解法二：化为二次不等式来解.-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x|-7x3.【例6】 解不等式：.解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：原不等式的解集为x|-1x1或2x3.练习：解不等式.答案：x|-13x-5.方法引导讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形
20、.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 (或的形式，转化为，（或，即转化为一次、
21、二次或特殊高次不等式形式.布置作业完成第90页习题3.2A组第5、6题，习题3.2B组第4题.板书设计一元二次不等式的解法的应用（一）例题例题 练习一元高次不等式解题步骤3.2一元二次不等式的解法的应用(二)第3课时推进新课师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)b(x+ab).生 将原不等式展开，整理得(a-b)xab(a+b).讨论：当ab时，,x(,+).当a=b时，若a=b0时x；若a=b0时xR.当ab时，,x(-, ).师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)0.生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)0，若a-(a-1),即a,则xa或a1
22、-a.x(-,1-a)(a,+).若a=-(a-1),即a=,则(x-12)20.xx|x,xR.若a-(a-1),即a,则xa或x1-a.x(-,a)(1-a,+).师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)0.生 将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)0.相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？讨论：（）当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x4或x-a.（）当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x-a或x4.（）当-a-3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原
23、不等式的解集为x|-ax-3或x4.（）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x-3.()当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x4.师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k0.师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.生 =k2+8k=k(k+8).(1)当0,即k-8或k0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.所以不等式2x2+kx-k0的解集是x|;(2)当=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x2
24、+kx-k0的解集是，即0,2；(3)当0,即-8k0时，方程2x2+kx-k=0无实根，所以不等式2x2+kx-k0的解集为.练习解不等式：mx 2-2x+10.师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.解：=4-4m=4(1-m),当m0时,0,此时.解集为 .当m0时，方程为-2x+10,解集为x|x,当0m1时,0，此时,解集为.当m1时,不等式为(x
25、-1)20,其解集为x|x1;当m1时,此时0,故其解集为R.师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.教师精讲对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.知识拓展【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|x-2或x，求关于x的不等式ax2-bx+c0的解集.师由题设a0且，从
26、而ax2-bx+c0可以变形为，即x2-x+10.x2.原不等式的解集为x|x2.引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-10的解集为R，求a的取值范围.师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a0且0.生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须即a的取值范围是a(-,).师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围.显然k=0时满足.而
27、k0时不满足.k的取值范围是 .练习：不等式ax2+bx+20的解集为x|-x，求a、b.()教师精讲解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.合作探究【例3】 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.生 2x2-2(k-3)x+3-k0(4x 2
28、+6x+3恒正)，原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k0对x取任何实数均成立.= 2-8(3-k)0k 2-4k+301k3.k的取值范围是（1，3）.师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:两个实根；一正根和一负根；正根绝对值大于负根绝对值；两根都大于1.解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：m.此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.若方程4
29、x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：m5.此时m的取值范围是(-,5).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：m2.此时m的取值范围是(-,2).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：m.此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.练习：1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A. (,+)B.(-, )C. ，+）D.( ,0)(0,+)提示：由m0且0，得m，选D.答案：D2.若不等式ax 2
30、+5x+b0的解集为x|x，则a、b的值分别是_.提示：由答案：-6，-13.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.提示：由 k-6.师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.师 解：要原方程有两个负实根，必须-2k-1或k1.k23或k-1实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.练习：已知不等式(a 2-1) x2-(a-1)x-10的解集为R，求实数a的取值范围.生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和x|x；若a2-10，即a1时，要使原不等式的解集为R，必须-a1.实数a的取值范围是(,
31、1)1=(,1.方法引导讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.课堂小结1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围
32、；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.布置作业（1）已知不等式x2+5x+m0的解集为x|x-7或x2，求实数m的值.(答案：m=-14)（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-40对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p0且0，得pp|-16p0)(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3x1时，y0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.解：要使原方程有两个负实根，必须-2k-1或k1.实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.板书设计一元二次不等式的解法的应用（二）例3例1、2例4全 品中考网- 15 - 版权所有高考资源网
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