1、单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019山西太原高三联考)下列说法不正确的是()A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是由执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用2.已知不等式ax2-5x+b0的解集为xx12,则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.x-13x12B.xx12C.x|-3x2D.x|x23.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)
2、=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积之比为18D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=sin x+1sinx,x0,2C.y=x2+3x2+2D.y=x+4x-1-3,x15.(2019浙江绍兴一模)若实数x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=x+y的取值范围是()A.-7,2B.-1,2C.-1,+)D.2,+)6
3、.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文7.(2019湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-38.
4、(2019四川成都石室中学模拟,8)已知a0,实数x,y满足x1,x+y3,ya(x-3),若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-32D.-1或19.(2019浙江杭州西湖区模拟)已知1x+9y=1(x0,y0),则x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.1810.(2019安徽六安质检)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量
5、单位).这个问题中,戊所得为()A.34钱B.23钱C.12钱D.43钱11.已知实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40,若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.8912.(2019河北衡水三模)由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图,下列说法错误的是()A.5G的发展带动今后几年
6、的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019江苏苏州期中)分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0;a-c0;(a-b)(a-c)0;(a-b)(a-c)0.14.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.15.(2019山东济南历下区检测)若2a5,3b0,且
7、12,-13是方程ax2-5x+b=0的两根,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,bx2-5x+a=-5x2-5x+300,即x2+x-60,解得-3x0;对于B,不能保证sin x=1;对于C,不能保证x2+2=1;对于D,x1,y=x+4x-1-3=x-1+4x-1-22(x-1)4x-1-2=4-2=2,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时等号成立,故选D.5.C画出实数x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0表示的平面区域.目标函数变形为-x+z=y,则z表示直线在y轴上的截距,截距越大,z越大.作出目标函数对应的直线L:y=-x,由y=0,x-y
8、+1=0,可得A(-1,0),目标函数z=x+y线过A时,直线在y轴上的截距最小,z最小,最小值为z=-1,则目标函数z=x+y的取值范围是-1,+).故选C.6.C小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中,小杨不任教语文,所以只有小蔡被分配到一中任教语文,小杨没有被分配到二中,也没有被分配到一中,所以只能被分配到三中,且任教数学,所以只能小徐被分配到二中,且任教英语,故选C.7.B作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经
9、过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件;若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,综上所述,a=2,故选B.8.B作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时直线y=-3x+z的截距最小,此时z最小,即3x+y=1,由x=1,3x+y=1,解得x=1,y=-2,即C(1,-2),点C也在直线y=a(x-3)上,-2=-2a,解得a=1.故
10、选B.9.Cx0,y0,x+y=(x+y)1x+9y=1+9xy+yx+9=10+9xy+yx10+29xyyx=10+6=16,当且仅当9xy=yx时,即x=4,y=12时x+y有最小值16.故选C.10.B 由题意,可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1,a2,a3,a4,a5.则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列,设公差为d.a1+a2+a3+a4+a5=5,a1+a2=a3+a4+a5.整理上面两个算式,得,a1+2d=1,a1+8d=0,解得a1=43,d=-16.所以a5=a1+4d=43+4-16=23.故选B.11.D实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0
11、,2x-y-40的可行域如图阴影部分所示.因为a0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.12.D 由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故D项表达错误.故选D.13.由abc,且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0,要证b2-ac3a,即证b20,即证2
12、a2-c2-ac0,即证(a-c)(a-b)0,故b2-ac0.答案为.14.F+V-E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.15.t15t532a5,3b10表示的可行域如图,则t=ab的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率,显然OA的斜率是最大值,OB的斜率是最小值,由题意可知A(3,5),B(10,2).kOA=53,kOB=15,因为AB不是可行域内的点,所以t=ab的取值范围为t15t53.答案为t15t53.16.1 000由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.
