1、吉林省白山市2021届高三理数第四次联考试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合 A=xZ|-3xe3e2B.e2e3e1C.e1e2e3D.e2e1e36.已知函数 f(x)=lgx-(12)x,f(m)=1 ，且 0pmn ，则（ ） A.f(n)1B.f(n)1 且 f(p)1C.f(n)1 且 f(p)1D.f(n)1 且 f(p)0,b0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ，M为C左支上一点，N为线段 MF2 上一点，且 |MN|=|MF1| ，P为线段 NF1 的中点.若 |F1F2|=4|OP| (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ） A.y=xB.
2、y=2xC.y=3xD.y=2x12.如图，函数 f(x) 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， f(x) 的零点为 -12 ，若不等式 f(x+a2)f(x)(a0) 对 xR 恒成立，则a的取值范围是（ ） A.(-,-536536,+)B.(-,-33,+)C.(-,-435435,+)D.(-,-233233,+)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数 z=(1-2i)(1-5i) 的实部为_. 14.在数列 an 中， a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an ，则 an= _. 15.如图，正四棱锥 P-ABCD 的每个顶点都在球M的球面上，
3、侧面 PAB 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为_. 16.若x，y满足约束条件 x2,x+y3,3x+2y6, 则 x-y 的最大值为_， x2+y2 的最小值为_. 三、解答题（本大题共70分）17.ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a=3,b=2 . （1）若 A=6 ，求 cos2B ； （2）当A取得最大值时，求 ABC 的面积. 18.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，
4、在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 p1 ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 p2 ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 14 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 199200 . （1）求该社区能举行4场音乐会的概率； （2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望. 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，以 BC 为直径的圆O(O为圆心)过点A，且 AO=AC=AP=2,PA 底面 ABCD ，M为 PC 的中点. （1）证明：平面 OAM 平面 PCD . （2）求二面角 O-MD-C 的
5、余弦值. 20.已知F为抛物线 C:x2=2py(p0) 的焦点，直线 l:y=2x+1 与C交于A ， B两点且 |AF|+|BF|=20 . （1）求C的方程. （2）若直线 m:y=2x+t(t1) 与C交于M ， N两点，且 AM 与 BN 相交于点T ， 证明：点T在定直线上. 21.已知函数 f(x)=m(x+1)2-1-2lnx . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）当 x1,2 时， f(x)0 ，求m的取值范围. 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线C的方程为 x=-y2+2y+3 . （1）写出曲线C的一个参数方程； （2）若 A(1,0),B(-1,0) ，点P为曲
6、线C上的动点，求 PAPB+2OAOP 的取值范围. 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x+b| . （1）若 a=b2+3b+2 ，证明： xR,bR,f(x)1 . （2）若关于x的不等式 f(x)7 的解集为 -6,1 ，求a，b的一组值，并说明你的理由. 答案解析部分一、单选题1.已知集合 A=xZ|-3x5 ， B=y|y=2x,xA ，则 AB 的元素个数为（ ） A.3B.4C.5D.6【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】因为 A=-2,-1,0,1,2,3,4 ， B=-4,-2,0,2,4,6,8 ，所以 AB=-2,0,2,4 .元素个数是4 故答案为
7、：B 【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。2.在 ABC 中，若 AB=1,AC=5,sinA=35 ，则 ABAC= （ ） A.3B.3C.4D.4【答案】 D 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】由于 sinA=35 ，所以 cosA=1-sin2A=45 ， 所以 ABAC=|AB|AC|cosA=4 .故答案为：D 【分析】首先由同角三角函数的关系式代入数值计算出cosA的值，再由数量积的的运算性质计算出答案即可。3.函数 f(x)=x3-7x2+1 的图象在点 (4,f(4) 处的切线斜率为（ ） A.-8B.-7C.-6D.-5【答案】 A 【考点】导数的几何意义
8、 【解析】【解答】因为 f(x)=3x2-14x ，所以所求切线的斜率为 f(4)=316-144=-8 . 故答案为：A 【分析】根据题意对函数求导并把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即为切线的斜率。4.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A.16天B.17天C.18天D.19天【答案】 B 【考点】二次函数的性质，等差数列的前n项和 【解析】【解答】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路
9、程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5， 设经过 n 天后他完成健身计划，则 8n+n(n-1)212200 ，整理得 n2+31n-8000 .因为函数 f(x)=x2+31x-800 在 1,+) 为增函数，且 f(16)0 ，所以 n17 .故答案为：B 【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题再由等差数列前n项和公式整理即可得出关于n的方程，结合二次函数的性质即可得出n的取值范围。5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆
10、的长轴长与短轴长的比值分别 139 、 5645 、 107 ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 e1 、 e2 、 e3 ，则（ ） A.e1e3e2B.e2e3e1C.e1e2e3D.e2e1e3【答案】 A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】因为椭圆的离心率 e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-(2b2a)2 ， 所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为 1391.44 ， 56451.24 ， 1071.43 ，则 1391075645 ，所以 e1e3e2 .故答案为：A. 【分析】根据题意由椭圆的性质结合题意条件代入数据即可得出答案
11、。6.已知函数 f(x)=lgx-(12)x,f(m)=1 ，且 0pmn ，则（ ） A.f(n)1B.f(n)1 且 f(p)1C.f(n)1 且 f(p)1D.f(n)1 且 f(p)0 时， f(x)0 ，函数 f(x) 单调递增，0pmn ，且 f(m)=1 ，f(p)f(m)=10 ，所以B选项错误.当 3+12r=4,r=2 时， (-1)2C62x3-322y3+122=15y4 ，C选项正确.当 3+12r=92,r=3 时， 3-3230 ，所以D选项错误.故答案为：C 【分析】根据题意由二项展开式的通项公式对选项逐一判断即可得出答案。8.执行如图所示的程序框图，则输出的
12、i= （ ） A.10B.15C.20D.25【答案】 C 【考点】程序框图 【解析】【解答】第一次执行程序 a=1+10=11 ， i=5 ； 第二次执行程序 a=5+22=27 ， i=10 ；第三次执行程序 a=21+54=75 ， i=15 ；第四次执行程序 a=69+150100 ， i=20 ，跳出循环输出 i ，故输出的 i=20 .故答案为：C 【分析】根据题意由程序框图的循环，代入数值验证即可得出满足题意的输出值.9.已知函数 f(x)=tanx-sinxcosx ，则（ ） A.f(x) 的最小正周期为 2B.f(x) 的图象关于y轴对称C.f(x) 的图象不关于 (2,0
13、) 对称D.f(x) 的图象关于 (,0) 对称【答案】 D 【考点】正弦函数的图象，正切函数的图象，正切函数的周期性，正弦函数的周期性 【解析】【解答】 f(x)=tanx-12sin2x ， A选项， y=tanx 和 y=12sin2x 的最小正周期都是 ，所以 f(x) 的最小正周期是 ，A选项错误.B选项， y=tanx 和 y=12sin2x 都是奇函数，所以 f(x) 是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.C选项， f(2-x)=tan(2-x)-12sin(-2x)=1tanx-12sin2x ，f(2+x)=tan(2+x)-12sin(+2x)=-1tanx+12sin2
14、x=-f(2-x) ，所以 f(x) 的图象关于 (2,0) 对称，C选项错误.D选项， f(-x)=tan(-x)-12sin(2-2x)=-tanx+12sin2x ，f(+x)=tan(+x)-12sin(2+2x)=tanx-12sin2x=-f(-x) ，所以 f(x) 的图象关于 (,0) 对称，D选项正确.故答案为：D. 【分析】根据题意由正切函数的周期性和图象，结合已知条件利用正弦函数的图象对选项逐一判断即可得出答案。10.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D为侧棱 CCl 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 BD 异面的概率是（ ）
15、 A.23B.1318C.79D.56【答案】 B 【考点】概率的基本性质，概率的应用 【解析】【解答】如图，这九条棱中，与 BD 共面的是 BC 、 BB1 、 CC1 、 B1C1 、 AB ，共五条，故所求概率 P=1-C52C92=1318 . 故答案为：B. 【分析】 根据题意该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为由此能求出这两条棱所在直线至少有一条与直线DB异面的概率.11.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ，M为C左支上一点
16、，N为线段 MF2 上一点，且 |MN|=|MF1| ，P为线段 NF1 的中点.若 |F1F2|=4|OP| (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ） A.y=xB.y=2xC.y=3xD.y=2x【答案】 C 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为 |F1F2|=4|OP| ，所以 |OP|=c2 ，所以 |NF2|=2|OP|=c ，又 |MF2|-|MF1|=|NF2|=2a ，所以 c=2a ，所以 a2+b2=c2=4a2 ，则 ba=3 .故 C 的渐近线方程为 y=3x . 故答案为：C 【分析】根据题意由双曲线的简单性质以及双曲线的定义，结合双曲线里a
17、、b、c的关系求出答案即可。12.如图，函数 f(x) 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， f(x) 的零点为 -12 ，若不等式 f(x+a2)f(x)(a0) 对 xR 恒成立，则a的取值范围是（ ） A.(-,-536536,+)B.(-,-33,+)C.(-,-435435,+)D.(-,-233233,+)【答案】 A 【考点】函数的图象，不等式的综合，抛物线的简单性质 【解析】【解答】当 x1 时， y=kx+b ，图象过点 (1,2) 和 (-12,0) ，即 k+b=2-12k+b=0 ， 解得： k=43 ， b=23 ，即 y=43x+23 ，当 x1 时，设抛物线 y
18、=a(x-2)2+1 ，代入点 (1,2) 得， a=1 ，即 y=(x-2)2+1 ，所以 f(x)=43x+23,x1(x-2)2+1,x1 ，y=f(x+a2) 的图象是由 y=f(x) 向左平移 a2 个单位长度得到，因为 f(x+a2)f(x) ，对 xR 恒成立，所以 y=f(x+a2) 的图象恒在 y=f(x) 的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线 y=(x+a2-2)2+1=x2+2(a2-2)x+(a2-2)2+1 ， y=2x+2(a2-2) ，与直线 y=43x+23 相切，即 2x+2(a2-2)=43 ，解得： x=83-a2 ， y=43(83-a2)+23=3
19、89-43a2 ，切点 (83-a2,389-43a2) 代入 y=(x+a2-2)2+1 得 389-43a2=(83-a2+a2-2)2+1 ，得 a2=2512 ，所以 a22512 ，解得： a536 或 a-536 .故答案为：A 【分析】根据题意由直线和二次函数的图象结合分段函数的性质作出函数的图象，结合不等式f(x+a2)f(x)(a0)的解法求解出a的取值范围。二、填空题13.复数 z=(1-2i)(1-5i) 的实部为_. 【答案】 -9 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】 z=(1-2i)(1-5i)=1-7i+10i2=-9-7i ，因此，复
20、数 z 的实部为-9. 故答案为：-9. 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。14.在数列 an 中， a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an ，则 an= _. 【答案】2n(n-1)2+1【考点】数列递推式 【解析】【解答】依题意， a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an ， 即 (n2+1)an+1=2(n-1)2+1an,an+1an=2(n-1)2+1n2+1 ，所以 an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=2(n-2)2+1(n-1)2+12(n-3)2+1(n-2)2+1212+122+120
21、2+112+12=2n(n-1)2+1 .故答案为： 2n(n-1)2+1 【分析】根据题意由已知数列的递推公式，结合已知数据代入数值计算出结果即可。15.如图，正四棱锥 P-ABCD 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 PAB 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为_. 【答案】318【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】取 AB 中点 E ， CD 中点 F ，作截面 PEF ，把截面另外画出平面图形，如图，则半球 O 的半个大圆与 PEF 的两腰相切， O 是 EF 中点， G 为切点， 设正四棱锥底面边长为 a ，则
22、 OF=12a ， PF=32a ， PO=22a ， OG=POOFPF=66a ，由对称性知正四棱锥的对角面 PBD 的外接圆是正四棱锥外接球的大圆，BD=2a ， PB=PD=a ， PB2+PD2=BD2 ，所以 BPD=2 ， BD 是 PBD 外接圆直径，所以球 M 的半径为 R=12BD=22a ，VOVM=1243(OG)343R3=12(66a)3(22a)3=318 故答案为： 318 【分析】 过四棱锥顶点和底面对棱中点作截面，此截面截半球O得半圆，半圆与正四棱锥的截面等腰三角形的腰相切，由此可用棱锥的棱长表示半球O半径，作正四棱锥对角面，对角面等腰三角形的外接圆是球M的
23、大圆，从而又可用棱锥.棱长表示球M的半径，由体积公式求得体积后得比值.16.若x，y满足约束条件 x2,x+y3,3x+2y6, 则 x-y 的最大值为_， x2+y2 的最小值为_. 【答案】 2；3613【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出可行域，如图 BAC 内部（含边界），作直线 l:x-y=0 ，在 z=x-y 中， y=x-z ， z 表示直线的纵截距的相反数，直线向下平移，纵截距减小， z 增大，平移直线 l ，当直线过 B(2,0) 时， x-y 取得最大值为2 x2+y2 表示可行域内点 (x,y) 到原点距离的平方，原点到直线 3x+2y=6 的距离为 d=|0+0-
24、6|22+32=613 ，所以 x2+y2 的最小值是 (613)2=3613 故答案为：2； 3613 【分析】根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过交点时，z取得最大值并由直线的方程求出交点的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。 三、解答题17.ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a=3,b=2 . （1）若 A=6 ，求 cos2B ； （2）当A取得最大值时，求 ABC 的面积. 【答案】 （1）解：由正弦定理 asinA=bsinB ，得 312=2sinB ，解得 sinB=33所以 c
25、os2B=1-2sin2B=13 .（2）解：由余弦定理得 cosA=b2+c2-a22bc=c2+14c . 因为 c2+14c2c4c=12 ，当且仅当 c=1 时，等号成立，所以 cosA12 ，则 00) 的焦点，直线 l:y=2x+1 与C交于A ， B两点且 |AF|+|BF|=20 . （1）求C的方程. （2）若直线 m:y=2x+t(t1) 与C交于M ， N两点，且 AM 与 BN 相交于点T ， 证明：点T在定直线上. 【答案】 （1）解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，由 y=2x+1,x2=2py, ，得 y2-(8p+2)y+1=0 ， 则 y1+y2
26、=8p+2 ，从而 |AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=9p+2=20 ，解得 p=2 ，故 C 的方程为 x2=4y .（2）解：设 M(x3,y3) ， N(x4,y4) ， T(x0,y0) ， TM=TA(1) . 因为 AB/MN ，所以 TN=TB .根据 x12=4y1,x22=4y2, 得 (x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2) ，则 x1+x2=4(y1-y2)x1-x2=8 ，同理得 x3+x4=8 .又 x3-x0=(x1-x0),x4-x0=(x2-x0), 两式相加得 x3+x4-2x0=(x1+x2-2x0) ，即 (4-x0)(1-)=0 ，由于
27、1 ，所以 x0=4 .故点 T 在定直线 x=4 上.【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1） 设A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，联立直线方程与曲线方程，由根与系数的关系可得 y1+y2=8p+2 ，由焦半径公式可得 |AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=9p+2=20。 （2）AB点坐标代入抛物线方程，整理可得x1+x2=8， 同理得x3+x4=8.设M(x3,y3) ， N(x4,y4) ， T(x0,y0) ， TM=TA(1)，TN=TB.将M,N,T的坐标代入以上二式，得x3-x0=(x1-x0),x4-x0=(x
28、2-x0), 分析可得 (4-x0)(1-)=0 ， 由于1，所以x0=4，故点T在定直线x=4上.21.已知函数 f(x)=m(x+1)2-1-2lnx . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）当 x1,2 时， f(x)0 ，求m的取值范围. 【答案】 （1）解：函数 f(x)=m(x+1)2-1-2lnx ， 求导得： f(x)=2m(x+1)-2x=2x(mx2+mx-1) ，当 m=0 时， f(x)=-2x0 时， =m2+4m0 ，令 f(x)=0 ，则方程 mx2+mx-1=0 有两个不同的根，. x1=-m-m2+4m2m0 ，当 x(0,x2) 时， f(x)0 ，所以
29、 f(x) 在 (0,x2) 上递减，在 (x2,+) 上递增；当 m0 时，当 x=x2 时， f(x) 取得极小值，当 x2(0,1) 时， f(x) 在 1,2 上递增，只需 f(2)=9m-1-2ln20 ，解得 m1+2ln29 ，此时 0m1+2ln29 ；当 x21,2 时，只需 f(1)0f(2)0 ，即 m14m1+2ln29 ，因为 141+2ln29 ，此时 0m14 ，当 x2(2,+) 时， f(x) 在 1,2 上递减，只需 f(1)=4m-10 ，解得 m14 ，此时 0m14 ；综上：m的取值范围是 m14 .【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，
30、利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由m的不同取值范围得出函数的单调区间。 (2)由(1)的结论结合函数的单调性即可求出函数的最值由此得出m的取值范围，再结合已知条件即可得出f(1)0f(2)0从而得到关于m的不等式组由此即可得出答案。22.在直角坐标系 xOy 中，曲线C的方程为 x=-y2+2y+3 . （1）写出曲线C的一个参数方程； （2）若 A(1,0),B(-1,0) ，点P为曲线C上的动点，求 PAPB+2OAOP 的取值范围. 【答案】 （1）解：由 x=-y2+2y+3 ，得 x2=-y2+2y+
31、3 ，整理得 x2+(y-1)2=4 ， 又 x=-y2+2y+30 ，所以曲线 C 的一个参数方程为 x=2cos,y=1+2sin ( 为参数，且 -22 ).（2）解：由（1）可设点P的坐标为 (2cos,1+2sin) ， -22 . 因为 PA=(1-2cos,-1-2sin) ， PB=(-1-2cos,-1-2sin) ，所以 PAPB=(1-2cos)(-1-2cos)+(-1-2sin)2=4+4sin .又 OAOP=2cos ，所以 PAPB+2OAOP=4+4(sin+cos)=4+42sin(+4) .因为 -22 ， -4+434 ，所以 -22sin(+4)1 ，
32、 42sin(+4)-4,42 ，故 PAPB+2OAOP 的取值范围是 0,4+42 .【考点】平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式，正弦函数的单调性，圆的参数方程 【解析】【分析】(1)根据题意整理得到圆的标准方程，再由圆的参数方程即可得出答案。 (2)由(1)的结论即可得到点P的坐标，由此得出向量的坐标再由数量积的坐标公式结合两角和的正弦公式即可得出PAPB+2OAOP=4+42sin(+4) ， 再由正弦函数的单调性即可得出42sin(+4)-4,42 ， 从而得出答案。23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x+b| . （1）若 a=b2+3b+2 ，证明： xR,bR,f(x)
33、1 . （2）若关于x的不等式 f(x)7 的解集为 -6,1 ，求a，b的一组值，并说明你的理由. 【答案】 （1）解： f(x)=|x+a|+|x+b|x+a-(x+b)|=|a-b| . 因为 a=b2+3b+2 ，所以 |a-b|=|b2+2b+2|=(b+1)2+11 ，当 b=-1 时， |a-b| 取得最小值1，故 xR ， bR ， f(x)1 .（2）解：依题意可得 f(-6)=f(1)=7 ， 即 |a-6|+|b-6|=|1+a|+|1+b|=7 ，不妨取 a=0 ，则 b=5 .下面证明 |x|+|x+5|7 的解集为 -6,1 .证明：当 x-5 时， -2x-57
34、，则 x-6 ，又 x-5 ，所以 -6x-5 .当 -5x0 时， 57 显然成立，所以 -5x0 .当 x0 时， 2x+57 ，则 x1 ，又 x0 ，所以 0x1 .所以 |x|+|x+5|7 的解集为 -6,1 ，A，b的一组值为0，5.【考点】函数的最值及其几何意义，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法 【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理得到|a-b|=|b2+2b+2|=(b+1)2+11再结合二次函数的性质即可求出最小值，从而得证出结论f(x)1成立。 (2)首先由绝对值的几何意义整理求出a与b的值，由此得出不等式 |x|+|x+5|7结合已知条件由绝对值不等式的解法求解出答案，由此即可得证出结论成立。