1、题型专项练6解答题组合练(C)1.(2021辽宁沈阳二模)已知(0,),sin +cos =62,且cos sin .(1)求角的大小;(2)若x-6,m,给出m的一个合适的数值,使得函数y=sin x+2sin2x2+的值域为-12,3+1.2.(2021湖北武汉模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn+Sn-1(nN*,n2).(1)求证:数列Sn是等差数列,并求an的通项公式;(2)若x表示不超过x的最大整数,如-1.2=-2,2.1=2,求证:1a12+1a22+1an2=1.3.(2021湖南武冈一模)某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用
2、情况,从两个方面进行了调查统计,一是产品的质量参数x,二是产品的使用时间t(单位:千小时).经统计分析,质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152),使用时间t与质量参数x之间有如下关系:质量参数x0.650.700.750.800.850.900.95使用时间t2.602.813.053.103.253.353.54(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查,要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品.现抽取20件该产品进行校验,求合格产品的件数的数学期望;(2)该公司研究人员根据最小二乘法求得经验回归方程为t=2.92x+0.76,请用样本相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系
3、是否可用线性回归模型拟合.附:参考数据:x=0.8,t=3.1,i=17xi2=4.55,i=17ti2=67.88,0.1150.339.若N(,2),则P(-+)=0.682 7,P(-2+2)=0.954 5;参考公式:样本相关系数r=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2;经验回归方程为t=bx+a,其中b=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2,a=t-bx.4.(2021山东烟台模拟)如图所示,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使
4、A1CCD,如图所示.(1)求证:A1C平面BCDE.(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.(3)线段BC(不包括端点)上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.5.(2021湖北武汉二模)设抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线E于A,B两点.当l与x轴垂直时,AOB面积为8,其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的标准方程;(2)若l的斜率存在且为k1,点P(3,0),直线AP与E的另一交点为C,直线BP与E的另一交点为D,设直线CD的斜率为k2,证明:k2k1为定值.6.(2021江苏扬州二模)已知函数f(x)=ln x-ax.
5、(1)若f(x)存在极值,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,判断函数g(x)=f(x)+2sin x的零点个数,并证明你的结论.题型专项练6解答题组合练(C)1.解 (1)因为sin+cos=2sin+4=62,所以sin+4=32.又(0,),所以+44,54,可得+4=3或23,可得=12或512.又cossin,所以=12.(2)y=sinx+2sin2x2+12=sinx+1-cosx+6=sinx+1-cosxcos6+sinxsin6=32sinx-32cosx+1=3sinx-6+1.当x=-6时,y=3sin-3+1=-12,当sinx-6=1时,y=3+1,所以由题意可得
6、m-62,可得m23.因此m23,+即可,故m的值可取.2.证明 (1)因为an=Sn+Sn-1,所以当n2时,Sn-Sn-1=Sn+Sn-1.即(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1,而an0,有Sn+Sn-10,所以Sn-Sn-1=1(n2),所以数列Sn是以S1=a1=1为首项,公差为1的等差数列.于是Sn=1+(n-1)1=n,则Sn=n2,当n2时,an=Sn+Sn-1=n+n-1=2n-1.又a1=1满足上式,所以an的通项公式为an=2n-1.(2)1an2=1(2n-1)2=14n2-4n+1,当n2时,1an214n2-4n=141n-1-1n,故1a12+1a
7、22+1an21+1411-12+12-13+1n-1-1n=1+141-1n1+14=54.当n=1时,1a12=154.所以对任意的nN*,都有1a12+1a22+1an254.又1a12+1a22+1an21a12=1,所以11a12+1a22+1an254.所以1a12+1a22+1an2=1.3.解 (1)一件产品的质量参数在0.785以上的概率P=1-1-0.68272=0.84135.设抽取的20件该产品中合格产品的件数为,则B(20,0.84135),则E()=200.84135=16.827.(2)因为i=1n(xi-x)2=i=1nxi2-2xi=1nxi+nx2=i=1n
8、xi2-2xnx+nx2=i=1nxi2-nx2.同理,i=1n(ti-t)2=i=1nti2-nt2,b=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2,i=1n(xi-x)(ti-t)=bi=1n(xi-x)2.r=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2=bi=1n(xi-x)2i=1n(xi-x)2(ti-t)2=bi=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2=bi=1nxi2-nx2i=1nti2-nt2=2.924.55-70.8267.88-73.12=2.920.070.612.920.1152.920.3390.99,所以使用时间t
9、与质量参数x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型拟合.4.(1)证明 CDDE,A1DDE,A1D,CD是平面A1CD内的两条相交直线,DE平面A1CD.A1C平面A1CD,A1CDE.又A1CCD,DE,CD是平面BCDE内的两条相交直线,A1C平面BCDE.(2)解 如图,建立空间直角坐标系C-xyz,则D(-2,0,0),A1(0,0,23),B(0,3,0),E(-2,2,0),故A1B=(0,3,-23),BE=(-2,-1,0).设平面A1BE的一个法向量为n=(x,y,z),则A1Bn=0,BEn=0,有3y-23z=0,-2x-y=0.即z=32y,x=-y2.取y=2
10、,得n=(-1,2,3).M(-1,0,3),CM=(-1,0,3).设=,CM与平面A1BE所成角为,cos=CMn|CM|n|=1+31+31+4+3=4222=22.sin=|cos|=22.故CM与平面A1BE所成角的大小为45.(3)解 不存在这样的点P.理由如下:设点P的坐标为(0,m,0)(0m0),当a0时,f(x)0,f(x)为单调递增函数,不可能有极值,舍去;当a0时,令f(x)=0,解得x=1a.当0x0,f(x)为单调递增函数;当x1a时,f(x)0),g(x)=1x-1+2cosx,g(x)=-1x2-2sinx.当x(0,时,g(x)0,g()=1-30,所以存在唯一的x0(1,),使g(x0)=0,且当0x0,g(x)单调递增,当x0x时,g(x)0,g(x)单调递减,注意到g1e3=-3-1e3+2sin1e30,g()=ln-0,所以g(x)在1e3,1和(1,)上各有一个零点.当x(,2时,g(x)lnx-xln-0,g(x)无零点.当x(2,+)时,g(x)lnx-x+2ln2-2+24-20,g(x)无零点.综上,g(x)在1e3,1和(1,)上各有一个零点,共有两个零点.