1、立体几何 结 束 压轴题命题区间(五)立体几何快速识别空间几何体的直观图与三视图典例(1)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()立体几何 结 束 立体几何 结 束 解析由几何体的直观图，可知该几何体可以看作由正方体ABCD-A1B1C1D1割掉四个角后所得的几何体ABCD-MNPQ，如图所示，该几何体的正视图就是其在正方体的面CDD1C1上的投影，显然为正方形CDD1C1与CDQ的组合；该几何体的侧视图就是其在面BCC1B1上的投影，显然为正方形BCC1B1和BCP的组合综上，只有A选项正确答案 A立体几何 结 束 (2)(2016山西质检)某几何体的三视图如图所示
2、，当xy取得最大值时，该几何体的体积是_立体几何 结 束 解析由题意知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，CD y2，ABy，AC5，CP7，BPx，BP2BC2CP2，即x225y27，x2y2322xy，则xy16，当且仅当xy4时，等号成立此时该几何体的体积V132423 73 7答案 3 7立体几何 结 束 方法点拨由几何体的三视图确定几何体的形状的关键在于准确把握常见几何体的三视图，由三视图中的数据确定几何体中的相关数据的关键是准确把握画三视图的基本原则：“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”，这是我们实现三视图数据与几何体度量之间相互转化的主要依据立体几何 结 束 对点演练如图是某
3、简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A36 3(2)B36 3(2)C108 3 D108(32)立体几何 结 束 解析：由三视图中的数据可得，该组合体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其中半圆锥的底面半径r6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h 122626 3故半圆锥的体积V11213626 336 3；三棱锥的底面积S1212636，三棱锥的体积V213Sh13366 372 3答案：B 故该几何体的体积VV1V236 372 336 3(2)立体几何 结 束 2(2017海口调研)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为()A 33B 17
4、C 41D 42立体几何 结 束 解析：依题意，题中的几何体是四棱锥E-ABB1A1，如图所示(其中ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E1)，EA324242 41，EA1124242 33，EB32425，EB1124217，ABBB1B1A1A1A4，因此该几何体的最长棱的棱长为 41，选C答案：C 立体几何 结 束 典例(1)某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为()A43B3C 32D与球相关的“接”、“切”问题立体几何 结 束 解析 把该四面体ABCD放入正方体中，如图所示，此四面体的外接球即为正方体的外接球，
5、由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R32，所以此四面体的外接球的体积为V 43323 32 故选C答案 C 立体几何 结 束 (2)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_解析 过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC及其内切圆O1和外切圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径为r1，ABC的边长为2 3，于是知圆锥的底面半径为 3，高为3故所求体积为V13333答案 3立体几何 结 束 (3)若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为_解析如图，作PM平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM6，连
6、接AM，AO，则OPOAR，在RtOAM中，OM6R，OAR，又AB6，且ABC为等边三角形，故AM2362322 3，则R2(6R)2(2 3)2，解得R4，所以球的表面积S4R264答案 64立体几何 结 束 方法点拨与球相关的“接”、“切”问题的解决方法方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作球内切多面体或旋转体(如典例(2)构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接的性质球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正
7、棱柱的外接球(如典例(3)立体几何 结 束 方法解读适合题型补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等(如典例(1)立体几何 结 束 对点演练1一个正六棱柱的所有顶点在同一个球面上，且这个正六棱柱的底面周长为6，体积为92，那么这个球的表面积为_解析：如图所示，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，由正六边形ABCDEF的周长为6，可得其边长为1，正六棱柱的底面ABCDEF的面积为61211 32 3 32，设正六棱柱的
8、高为h，由此可得其体积V3 32 h92，解得h 3，则AD1AD2DD2122 32 7，即得正六棱柱的外接球直径为7，所以这个球的表面积为47227答案：7立体几何 结 束 2已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，PAPD13，侧面PAD底面ABCD，在四棱锥内放一个球，要使球的体积最大，则球的半径为_解析：四棱锥P-ABCD内放一个球，要使球的体积最大，则球为四棱锥的内切球如图，分别取AD，BC的中点M，N，连接PM，PN，MN因为侧面PAD底面ABCD，且PAPD 13，所以PMAD，所以PM底面ABCD又ADAB4，所以MN4，PM 132223，立体几何 结 束
9、 根据题意球O与四棱锥各面相切，平面PMN即为四棱锥与内切球的轴截面，在RtPMN中，PN 32425，设E，F，G为切点，球O的半径为r，则SPMN123412(345)r，所以r1，即所求答案：1立体几何 结 束 典例 如图 1，梯形 ABCD 中，CEAD 于 E，BFAD于 F，且 AFBFBC1，DE 2，现将ABF，CDE 分别沿 BF 与 CE 翻折，使点 A 与点 D 重合，点 O 为 AC 的中点，设平面 ABF 与平面 CDE 相交于直线 l，如图 2.平面图形的翻折问题(1)求证：lCE；(2)求证：OF平面ABE.立体几何 结 束 证明(1)因为CEBF，CE平面ABF
10、，BF平面ABF，所以CE平面ABF.又CE平面ACE，平面ACE平面ABFl，所以CEl.(2)如图，连接CF，与BE交于点G，连接AG，OG.因为AFBF1，AFBF，所以AB 2，立体几何 结 束 所以ABAEBE 2，所以AGBE.又BECF，AGCFG，所以BE平面AFC，所以平面ABE平面AFC，交线为AG.又AFBF，AFEF，BFEFF，所以AF平面BCEF，所以AFCF.在RtAFG中，tanFAG 22.易知G为BE的中点，又O为AC的中点，所以OG12AF12，OGAF，故OGCF.立体几何 结 束 在RtFGO中，FG 22，OG12，所以tanOFCOGFG 22，所
11、以FAGOFC.又OFCAFO2，所以FAGAFO2，所以AGOF，所以OF平面ABE.立体几何 结 束 方法点拨解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些、发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形立体几何 结 束 对点演练(2016浙江高考)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_解析：在ABC中，ABBC2，ABC120，AC222222212 2 3.设CDx，则AD2 3x，PD2 3x，立体几何 结 束 VP-BCD13SBCDh1312BCCDsin 30PD16x(2 3x)16x2 3x22162 32212，当且仅当x2 3x，即x 3时取“”，此时PD 3，BD1，PB2，满足题意故四面体PBCD的体积的最大值为12.答案：12 升级增分训练点击此处