1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。关键能力素养形成类型一旋转体的体积【典例】1.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为a,则这个圆台的体积是()A.a3B.a3C.a3D.a32.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?世纪【思维引】1.求圆台的体积可依据圆台的体积公式寻求解题思路,求出圆台的上下底面半径和高即可.2.注意取出的两个小球的体积应该等于圆柱的底面积与水面下降的高度的乘积.【解析】1.选D.由AD=
2、a,AB=2a,BD=a知ADB=90,分别过D点、C点作DHAB,CGAB.知DH=a,所以HB=a,所以DE=HF=a,所以V圆台=a=a3.2.设取出小球后,容器中水面下降hcm,两个小球的体积为V球=2=(cm3),此体积即等于它们在容器中排开水的体积V=52h,所以=52h,所以h=,即若取出这两个小球,则水面将下降cm.【内化悟】1.求圆柱、圆锥、圆台的体积应该知道哪些量?这些量经常出现在哪个截面中?提示:求圆柱、圆锥、圆台的体积需要知道几何体的高与底面的半径;这些量经常出现在轴截面中.2.求球的体积应该知道哪些量?提示:求球的体积只需要知道球的半径即可.【类题通】求旋转体的体积的
3、求解技巧一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角形全等、相似等关系求出所需的量;三是利用体积公式求体积.【习练破】如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2,则必有()A.S1S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定【解析】选C.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-ADF,VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-E
4、FC.又VA-BEFD=VA-EFC,而构成四棱锥A-BEFD和三棱锥A-EFC的每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+SADF=SAFC+SAEC+SEFC,又AEF为公共面,所以S1=S2.【加练固】1.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是()A.R3B.R3C.R3D.R3【解析】选A.设圆锥的底面半径为r,则2r=l=R.所以r=R.所以圆锥的高h=R.所以V锥=r2h=R=R3.2.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图水平放置时
5、,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为_cm.【解析】设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知32h2+12(20-h2)=12h1+32(28-h1),整理得8(h1+h2)=232,所以h1+h2=29.答案:29类型二棱柱、棱锥、棱台的体积角度1等积法求体积【典例】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.世纪【思维引】三棱锥A1-D1EF的高不易求出,可以转换为求三棱锥F-A1D1E的体积.【解析】由=,因为=EA1A1D1=a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD
6、=a,所以=aa2=a3.=a3.【素养探】在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式,求出几何体的体积.将本例的条件改为点F为CC1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1-EBFD1的体积.【解析】因为EB=BF=FD1=D1E=a,D1FEB,所以四边形EBFD1是菱形,连接EF,则EFBFED1.因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等,所以=2=2,又因为=EA1AB=a2,所以=a3,所以=2=a3.角度2公式法、割补法求体积【典例】1.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方
7、形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,求该多面体的体积.世纪2.如图所示,三棱锥P-ABC的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积.世纪【思维引】1.该几何体是不规则图形,应该将其分割成我们熟悉的几部分,然后再去求解.2.将此三棱锥放在正方体中,看作正方体切去四个三棱锥得到,据此设计算法求解.【解析】1.如图所示,过点A,B分别作AM,BG垂直于EF,垂足分别为点M,G,连接DM,CG,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱.由图形的对称性,知EM=GF=.在RtAME中,可求得AM=.在等腰三角形AMD中,可求得SAMD=.所以V多面体=2V三棱锥E-ADM+V三棱柱
8、ADM-BCG=EM+ABSAMD=.2.如图所示,把三棱锥放在正方体中.三棱锥P-ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,所以三棱锥P-ABC的体积为-4=.【类题通】求几何体体积的常用方法【习练破】1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成了AEF-A1B1C1和BB1E-CC1F两部分,它们的体积分别为V1,V2,那么V1V2=_.【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AB,AC的中点,所以SAEF=S,V1=h=Sh,V2=Sh
9、-V1=Sh,故V1V2=75.答案:752.正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠这个正方形,使B,C,D重合于一点P,得到一个三棱锥如图.求此三棱锥的体积.【解析】因为D=C=B=90,所以翻折后APE=EPF=APF=90.所以RtPEF可以看作底面,而AP可以看作是高.比较发现:AP=1,PEPF,PE=PF=.所以VA-PEF=SPEFAP=1=.【加练固】现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3m,长和宽的和为20m,那么仓库的容积的最大值是()A.300m3B.400m3C.200m3D.240m3【解析
10、】选A.设长方体的长为xm,则宽为(20-x)m,所以V=3x(20-x)=-3(x-10)2+300300.故最大容积为300m3.类型三组合体的体积【典例】1.已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于世纪()A.2B.C.D.2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?世纪【思维引】1.依据球的体积可求得球的半径,再注意到外接球的直径与正方体的体对角线的关系即可求解.2.(1)先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径r的方程,然后求圆锥的底面半径和高,最后求圆锥的体积.(2)
11、在圆锥的轴截面中,利用三角形相似推出圆柱的底面半径y与圆锥的高x的关系,进而建立圆柱的侧面积S关于圆锥的高x的函数,求最大值.【解析】1.选D.设正方体的棱长为x,则正方体的体对角线长为x,由题设有=,解得x=.2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,则2r=25,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V=r24=12.(2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为y,则=,得y=3-x.圆柱的侧面积S(x)=2(3-x)x=(4x-x2)=4-(x-2)2(0xV1,S2S1.5. 方案二比方案一更加经济.关闭Word文档返回原板块