1、综合测试卷(三)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京八中10月月考,1)已知集合A=x|x1,B=x|x1,因此m的值可以是2,故选D.易错警示本题易错认为m1,事实上m=1时,A=(1,+),B=(-,1),不满足AB=R.2.(2020江西临川第二中学10月月考,2)已知i为虚数单位,若复数z=3-i1+i,则|z|=()A.1B.2C.2D.5答案D因为z=3-i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-2i,所以|z|=12+(-2)2=5,故选D.3.(2019
2、北京西城月考,5)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1),若ABOC,则实数m的值为()A.-17B.-3C.-35D.35答案BOA=(3,-4),OB=(6,-3),则AB=OB-OA=(3,1).ABOC,OC=(2m,m+1),3(m+1)-2m=0,m=-3,故选B.易错警示向量a=(x1,y1)与非零向量b=(x2,y2)共线的充分必要条件是存在使得a=b,其坐标表示为x1y2-x2y1=0.要注意与两向量垂直的坐标表示区分,此处容易混淆.4.(2020内蒙古包头二模,5)已知a,bR,下列四个条件中,使ab成立的必要而不充分条件是()A.ab-1B
3、.ab+1C.a2b2D.2a2b答案Bab-1ab,反之不成立,ab-1是使ab成立的充分而不必要条件;abab+1,反之不成立,ab+1是使ab成立的必要而不充分条件;a2b2是使ab成立的既不充分也不必要条件;2a2bab,2a2b是使a0且a1,函数f(x)=ax,x1,ax+a-2,x1在R上单调递增,那么实数a的取值范围是()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2答案Df(x)=ax,x1,ax+a-2,x0,且a1)在R上单调递增,a1,aa+a-2,即a1,a2a-2,解得10,b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛
4、物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A.3B.23C.5D.25答案D根据题意,点(-2,-1)在抛物线的准线上,抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,p=4,抛物线的焦点坐标为(2,0),又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,双曲线的左顶点的坐标为(-2,0),即a=2,点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,渐近线的斜率k=ba=12,b=1,c=b2+a2=5,双曲线的焦距为2c=25.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.2020年春节前后,一场突如其来
5、的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指导下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下面的图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况.根据该折线图判断,下列结论正确的是()A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和答案BC由题图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但具体到每一天有增有减,故A错误
6、;因为每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,所以16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数,故B正确;易知16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确;20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故D错误,故选BC.10.已知P是双曲线C:x23-y2m=1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k20),若|k1|+|k2|t恒成立,且实数t的最大值为233,则下列说法正确的是()A.双曲线的方程为x23-y2=1B.双曲线的离心率为2C.函数y=loga(x-1)(a0,
7、a1)的图象恒过C的一个焦点D.直线2x-3y=0与C有两个交点答案AC设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)(x1x,y1y),则x123-y12m=1,x23-y2m=1,两式相减得x12-x23+y2-y12m=0,即x2-x123=y2-y12m,(x-x1)(x+x1)3=(y-y1)(y+y1)m,m3x+x1y+y1=y-y1x-x1,|k1|+|k2|=y-y1x-x1+y+y1x+x1=y+y1x+x1+m3x+x1y+y12m3,又t的最大值为233,m=1,故双曲线的方程为x23-y2=1,故A正确;a=3,b=1,c=2,e=233,故B错误;易知双曲线
8、的一个焦点为(2,0),函数y=loga(x-1)(a0,a1)的图象恒过点(2,0),故C正确;双曲线的一条渐近线为y=33x,直线2x-3y=0的斜率为23,2333,且该直线过原点,直线2x-3y=0与双曲线没有交点,故D错误,故选AC.11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M分别为棱CD,CC1的中点,Q为面对角线A1B上任一点,则下列说法正确的是()A.平面APM内存在直线与A1D1平行B.平面APM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为98C.直线AP和DQ所成角可能为60D.直线AP和DQ所成角可能为30答案BC易知直线A1D1平面ABCD,平
9、面ABCD平面APM=AP,直线AP与直线A1D1不平行,故A错误;平面APM截正方体所得截面为四边形APMB1,且四边形APMB1为等腰梯形,S四边形APMB1=1222+2122+12-2-2222=98,故B正确;当Q与A1重合时,两直线的夹角最小,当Q与B重合时,两直线的夹角最大,cos1010,105,故C正确,D错误.故选BC.12.关于函数f(x)=ex+asinx,x(-,+),下列说法正确的是()A.当a=1时,f(x)在(0,f(0)处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1f(x0)0,f(x)在(-,+)上均存在零点D.存在a0(x
10、-)恒成立,f(x)单调递增,f-34=e-34+cos-340,故f(x)存在唯一极小值点x0,且x0-34,-2,则f(x0)=0,即ex0+cosx0=0,f(x0)=ex0+sinx0=sinx0-cosx0=2sinx0-4(-1,0),故B正确;f(x)=ex+asinx,x(-,+),令f(x)=0,则ex+asinx=0,当x=k,k-1且kZ时,显然没有实根,故xk,k-1且kZ,a=-exsinx,令h(x)=-exsinx,h(x)=ex(cosx-sinx)sin2x,令h(x)=0,得x=4+k,k-1,kZ,h(x)在-,-34上单调递减,在-34+2k,2k,2k
11、,4+2k(kN)上单调递增,在4+2k,+2k,+2k,54+2k(kN)上单调递减,h(x)的极小值为h-34+2k=2e-34+2k2e-34(kN),h(x)的极大值为h4+2k=-2e4+2k-2e4(kN),a(0,2e-34)时,y=a与y=h(x)的图象没有交点,即f(x)在(-,+)上没有零点,故C错误;存在aa,可得x-a0,则x-a+4x-a2(x-a)4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a4,可得a1,则a的最小值为1.14.(2020甘肃兰州4月诊断考试,15)大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六
12、边形ABCDEF,侧棱AA,BB,CC,DD,EE,FF相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD=1092816.已知一个蜂房中,BB=DD=53,AB=26,tan544408=2,则此蜂房的表面积是.答案2162解析本题主要考查多面体表面积的计算,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.连接BD,BD,则BDBD,因为底面ABCDEF是边长为26的正六边形,所以BD=
13、226cos30=62,所以BD=62.连接OC,因为四边形OBCD为菱形,BCD=1092816,tanBCD2=tan544408=12BD12OC=2,所以OC=BD2=6,所以BC=(32)2+32=33,所以CC=BB-BC2-BC2=53-(33)2-(26)2=43,所以S梯形BBCC=26(53+43)2=272,所以此蜂房的表面积S=6272+312662=2162.思路分析由正六边形的性质求出BD,由菱形的性质求出OC,由此求出BC,CC,从而求出梯形BBCC的面积,进而求得此蜂房的表面积.15.(2020山东潍坊三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐
14、近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切,且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为.答案x2-y23=1解析由双曲线的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切可得2ba2+b2=2bc=3,又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,所以c=2,故b=3,又a2=c2-b2,所以a=1,所以双曲线的方程为x2-y23=1.16.(2020五省创优名校第二次联考,16)在数列an中,a1=14,a2=15,且1nan+1-1(n-1)an=-4n(n-1)(n2,nN*),则1a10+1a11+1a84=.答案3750解析本题考查了累加法及裂项相消法求通项及求和的方法,考查了等差数列的证
15、明及求和公式,考查了运算能力及推理论证能力.因为1nan+1-1(n-1)an=-4n(n-1)=41n-1n-1,所以12a3-1a2=-421=412-1,13a4-12a3=-432=413-12,1(n-1)an-1(n-2)an-1=-4(n-1)(n-2)=41n-1-1n-2,将以上等式累加可得1(n-1)an-1a2=41n-1-1,即an=1n+3(n3).因为a1=14,a2=15符合上式,所以an=1n+3,则1an=n+3.所以1an是以4为首项,1为公差的等差数列,故1a10+1a11+1a84=13+14+87=75(13+87)2=3750.思路分析1nan+1-
16、1(n-1)an=-4n(n-1)=41n-1n-1,由此可用累加法及裂项相消法求得1(n-1)an-1a2=41n-1-1,可得an=1n+3,进而求得1an,利用等差数列求和公式求得结果.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+C2=bsinA.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析(1)由asinA+C2=bsinA及正弦定理可得sinAcosB2=sinBsinA,sinA0,cosB2=sinB=2sin
17、B2cosB2sinB2=12(0B),B=3.(2)解法一:由asinA=csinC得a=csinCsin23-C,SABC=12a32=3432tanC+12=381tanC+38,由ABC为锐角三角形可得0C2,023-C26C201tanCb2,a2+b21,b2+1a212a2.则S=12a32=34a38,32.即ABC面积的取值范围为38,32.18.(12分)(2019北京潞河中学10月月考文,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn满足a1=b1=1,S3=b3+2,S5=b5-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)如果数列bn为递增数列,求数列anbn的前
18、n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则由题意得3+3d=q2+2,5+10d=q4-1,即9d2-4d-5=0,解得d=1或d=-59(舍).所以q=2.所以an=n,bn=2n-1或bn=(-2)n-1.(2)因为数列bn为递增数列,所以bn=2n-1,所以Tn=120+221+322+n2n-1,2Tn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n,相减得-Tn=20+21+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n,所以Tn=1+(n-1)2n.19.(12分)(2020北京二十七中期中,18)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调
19、查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:顾客年龄20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,70使用人数31217642未使用人数00314363(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率;(2)从被抽取的年龄在50,70且使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用X表示这3人中年龄在50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望;(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.解析本题考查古典概型概率、随
20、机变量的分布列及数学期望、随机抽样,考查学生分析处理数据的能力,体现数据分析的核心素养.(1)在随机抽取的100名顾客中,年龄在30,50)且未使用自由购的顾客共有3+14=17(人),所以随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为P=17100.(2)X所有的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C41C22C63=15;P(X=2)=C42C21C63=35;P(X=3)=C43C20C63=15.所以X的分布列为X123P153515所以X的数学期望EX=115+235+315=2.(3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44
21、(人),所以估计该超市当天至少应准备环保购物袋的个数为441005000=2200.思路分析(1)利用古典概型概率公式求解即可;(2)求出X的所有可能取值,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可;(3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人,然后求解即可.20.(12分)(2020北京朝阳期中,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD平面ABCD,E为PD的中点,ADBC,CDAD,BC=CD=2,AD=4.(1)求证:CE平面PAB;(2)求二面角E-AC-D的余弦值;(3)直线AB上是否存在点Q,使得PQ平面ACE?若
22、存在,求出AQAB的值;若不存在,说明理由.解析(1)如图,取PA的中点F,连接EF,BF.因为E为PD的中点,AD=4,所以EFAD,EF=12AD=2.又因为BCAD,BC=2,所以EFBC,EF=BC,所以四边形EFBC为平行四边形,所以CEBF.又因为CE平面PAB,BF平面PAB,所以CE平面PAB.(2)取AD的中点O,连接OP,OB.因为PAD为等边三角形,所以POAD.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.因为ODBC,OD=BC=2,所以四边形BCDO为平行四边形.因为CDAD,所以OBOD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A(
23、0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,3),P(0,0,23).所以AC=(2,4,0),AE=(0,3,3).设平面ACE的法向量为n1=(x,y,z),则n1AC=0,n1AE=0,即2x+4y=0,3y+3z=0.令x=-2,则n1=(-2,1,-3).显然,平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=-322=-64.由图可知,二面角E-AC-D为锐角,所以二面角E-AC-D的余弦值为64.(3)直线AB上存在点Q,使得PQ平面ACE.理由如下:设AQ=AB.因为AB=(2,2,0),PA=(0,-2,-23),所以AQ=
24、AB=(2,2,0),PQ=PA+AQ=(2,2-2,-23).因为PQ平面ACE,所以PQn1=0,即(2,2-2,-23)(-2,1,-3)=0,解得=2.所以直线AB上存在点Q,使得PQ平面ACE,此时AQAB=2.21.(12分)(2020北京东直门中学期中,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,焦距为22.(1)求椭圆E的方程;(2)若C,D分别是椭圆E上的左,右顶点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆E于点P,证明:OMOP为定值(O为坐标原点).解析本题考查椭圆的标准方程,圆锥曲线的定值问题,主要通过直线与圆锥曲线的综合问题考查学生运用化归转化的思想
25、方法解决问题的能力,体现数学运算与逻辑推理的核心素养.(1)由椭圆E的焦距为22,得2c=22,所以c=2,因为e=ca=22,所以a=2c=2,因为a2=b2+c2,所以b2=2.所以椭圆的方程为x24+y22=1.(2)证明:因为直线CM不在x轴上,故可设lCM:x=my-2,由x24+y22=1,x=my-2得(m2+2)y2-4my=0,yP=4mm2+2,xP=2m2-4m2+2,即P2m2-4m2+2,4mm2+2.在x=my-2中,令x=2,得yM=4m,即M2,4m.OMOP=4m2-8m2+2+16m2+2=4.OPOM为定值4.思路分析(1)根据题意,分析可得椭圆中c的值,
26、结合椭圆的离心率公式可得a的值,计算可得b的值,即可得椭圆方程.(2)根据题意,设lCM:x=my-2,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析,用m表示P的坐标,结合直线的方程分析可得M的坐标,进而可以用m表示OMOP,化简可得答案.22.(12分)(2020天津,20,16分)已知函数f(x)=x3+klnx(kR),f(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f(x)+9x的单调区间和极值;(2)当k-3时,求证:对任意的x1,x21,+),且x1x2,有f (x1)+f (x2)2f(x1)-
27、f(x2)x1-x2.解析(1)(i)当k=6时,f(x)=x3+6lnx,故f(x)=3x2+6x.可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.(ii)依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+3x,x(0,+).从而可得g(x)=3x2-6x+6x-3x2,整理可得g(x)=3(x-1)3(x+1)x2.令g(x)=0,解得x=1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)极小值所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);g(x)的极
28、小值为g(1)=1,无极大值.(2)证明:由f(x)=x3+klnx,得f(x)=3x2+kx.对任意的x1,x21,+),且x1x2,令x1x2=t(t1),则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)3x12+kx1+3x22+kx2-2x13-x23+klnx1x2=x13-x23-3x12x2+3x1x22+kx1x2-x2x1-2klnx1x2=x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2lnt.令h(x)=x-1x-2lnx,x1,+).当x1时,h(x)=1+1x2-2x=1-1x20,由此可得h(x)在1,+)单调递增,所以当t1时,h(t)h(1),即t-1t-2lnt0.因为x21,t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3,所以x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2lnt(t3-3t2+3t-1)-3t-1t-2lnt=t3-3t2+6lnt+3t-1.由(1)(ii)可知,当t1时,g(t)g(1),即t3-3t2+6lnt+3t1,故t3-3t2+6lnt+3t-10.由可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)0.所以,当k-3时,对任意的x1,x21,+),且x1x2,有f (x1)+f (x2)2f(x1)-f(x2)x1-x2
