1、单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.下列函数中周期为且为偶函数的是()A.y=sin2x-2B.y=cos2x-2C.y=sinx+2D.y=cosx+2答案:A解析:对于选项A,y=-cos2x,周期为且是偶函数,所以选项A正确;对于选项B,y=sin2x,周期为且是奇函数,所以选项B错误;对于选项C,y=cosx,周期为2,所以选项C错误;对于选项D,y=-sinx,周期为2,所以选项D错误.故答案为A.2.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案
2、:A解析:cosC=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25+21535=32.AB=42.3.函数y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.,0B.2,0C.,2-2D.2,2-2答案:C解析:因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+2sin2x+4,所以最小正周期为,当sin2x+4=-1时,取得最小值为2-2.4.已知函数f(x)=2sin(2x+)|2的图象过点(0,3),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.-3,0B.-6,0C.6,0D.
3、12,0答案:B解析:由题意,得3=2sin(20+),即sin=32.因为|0,0,|2的部分图象如图所示,若x1,x2-6,3,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.12C.22D.32答案:D解析:由题中图象可得A=1,T2=22=3-6,解得=2.故f(x)=sin(2x+).由题图可知点12,1在函数f(x)的图象上,故sin212+=1,即6+=2+2k,kZ.|2,=3,即f(x)=sin2x+3.x1,x2-6,3,且f(x1)=f(x2),x1+x2=122=6.f(x1+x2)=sin26+3=32,故选D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共
4、14分)7.已知sin4-x=34,且x-2,-4,则cos 2x的值为.答案:-378解析:sin2x=cos2-2x=1-2sin24-x=1-2342=-18,x-2,-4,2x-,-2.cos2x=-1-sin22x=-378.8.若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.答案:3(2,+)解析:SABC=34(a2+c2-b2)=12acsinB,a2+c2-b22ac=sinB3,即cosB=sinB3,sinBcosB=3,即tanB=3,B=3,则ca=sinCsinA=sin23-AsinA=32cosA-12sinAsinA=321ta
5、nA+12,C为钝角,B=3,0A6,tanA0,33,1tanA(3,+),故ca(2,+).三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=513,求cos 的值.解:(1)由角的终边过点P-35,-45,得sin=-45,所以sin(+)=-sin=45.(2)由角的终边过点P-35,-45,得cos=-35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=-5665或co
6、s=1665.10.(15分)(2020全国,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.解:(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos150,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=23.ABC的面积为12232sin150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sinA+3sinC=sin(30-C)+3sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C0,0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且经过点3,32.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若角满足f()+3f-2=1,(0,),求的值.解:(1)由条件知周期T=2,即2=2,所以=1,即f(x)=Asinx+3.f(x)的图象经过点3,32,Asin23=32.A=1,f(x)=sinx+3.(2)由f()+3f-2=1,得sin+3+3sin-2+3=1,即sin+3-3cos+3=1,可得2sin+3-3=1,即sin=12.又(0,),解得=6或56.