1、利用导数探究含参数函数的性质 结 束 第二课时 利用导数探究含参数函数的性质利用导数研究函数的单调性典例 已知函数g(x)ln xax2bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性利用导数探究含参数函数的性质 结 束 解(1)依题意得g(x)1x2axb(x0)由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1(2)由(1)得g(x)2ax22a1x1x2ax1x1x函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x)x1x 利用导数探究含参数函数的性质 结 束 由g(x)0，得
2、0 x1，由g(x)0，得x1，当a0时，令g(x)0，得x1或x 12a，若 12a1，即a12，由g(x)0，得x1或0 x 12a，由g(x)0，得 12ax1；若 12a1，即0a12，由g(x)0，得x 12a或0 x1，由g(x)0，得1x 12a，若 12a1，即a12在(0，)上恒有g(x)0利用导数探究含参数函数的性质 结 束 综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a12时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在1，12a 上单调递减，在12a，上单调递增；当a12时，函数g(x)在(0，)上单调递增，当a12时，函数g(x)在0，
3、12a 上单调递增，在12a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增利用导数探究含参数函数的性质 结 束 方法点拨(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)本题(2)求解应先分a0或a0两种情况，再比较 12a 和1的大小利用导数探究含参数函数的性质 结 束 对点演练(2016太原一模)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)设函数h(x)f(x)1ax，求函数h(x)的单调区间解：(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(
4、1)1，即切点为(1,1)，f(x)12x，f(1)121，曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20利用导数探究含参数函数的性质 结 束 (2)由题意知，h(x)xaln x1ax(x0)，则h(x)1ax1ax2 x2ax1ax2x1x1ax2，当a10，即a1时，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，x0，0 x1a当a10，即a1时，h(x)0恒成立，综上，当a1时，h(x)的单调递减区间是(0，a1)，单调递增区间是(a1，)；当a1时，h(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间利用导数探究含参数函数的性质 结 束 典例 设a0，函数f(x)12x2
5、(a1)xa(1ln x)(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处的切线与直线yx1垂直，求切线方程(2)求函数f(x)的极值利用导数研究函数的极值利用导数探究含参数函数的性质 结 束 解(1)由已知，得f(x)x(a1)ax(x0)，又由题意可知yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)a21，解得a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2(2)f(x)x(a1)axx2a1xaxx1xax(x0)利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当0a1时，若x(0，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x
6、(1，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)12a2aln a，极小值是f(1)12利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当a1时，f(x)x12x0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0,1)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(a，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增利用导数探究含参数函数的性质 结 束 此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)
7、12，极小值是f(a)12a2aln a综上，当0a1时，f(x)的极大值是12a2aln a，极小值是12；当a1时，f(x)没有极值；当a1时f(x)的极大值是12，极小值是12a2aln a利用导数探究含参数函数的性质 结 束 方法点拨对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f(x)零点的存在；(2)参数是否影响f(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f(x)在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)利用导数探究含参数函数的性质 结 束 对点演练(2016山东高考)设f(x)xln xax2(2a
8、1)x，aR(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)1x2a12axx当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0，x0，12a 时，g(x)0，函数g(x)单调递增，利用导数探究含参数函数的性质 结 束 x12a，时，g(x)0，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，(2)由(1)知，f(1)0当a0时，f(x)单调递增，所以当
9、x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当0a12时，12a1，由(1)知f(x)在0，12a 内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0，当x1，12a 时，f(x)0所以f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当a12时，12a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a12时，0 12a1，
10、当x12a，1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为12，利用导数探究含参数函数的性质 结 束 典例 已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值利用导数研究函数的最值解(1)由题意，f(x)1xa(x0)，当a0时，f(x)1x a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)1xa0，可得x1a，利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当0 x1a时，f(x)1axx0；当x1a时，f(x)1axx
11、0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为 0，1a，单调递减区间为1a，利用导数探究含参数函数的性质 结 束 (2)当1a1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a当1a2，即0a12时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a 上是增函数，在1a，2 上是减函数利用导数探究含参数函数的性质 结 束 又f(2)f(1)ln 2a，所以当12aln 2时
12、，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a利用导数探究含参数函数的性质 结 束 方法点拨(1)在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值，在不是闭区间的情况下，函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在，也可能只存在一个，或既无最大值也无最小值；(2)在一个区间上，如果函数只有一个极值点，则这个极值点就是最值点利用导数探究含参数函数的性质 结 束 对点演练1若函数f(x)xx2a(a0)在1，)上的最大值为 33，则a的值为()A 33 B 3C 31 D 31
13、利用导数探究含参数函数的性质 结 束 解析：f(x)x2a2x2x2a2 ax2x2a2令f(x)0，得x a或x a(舍去)，若a 1，即0a1时，在1，)上f(x)0，f(x)maxf(1)11a 33 解得a 31，符合题意若a1，即a1时，在1，a)上f(x)0，在(a，)上f(x)0，所以f(x)maxf(a)a2a 33，解得a341，不符合题意，综上知，a 31答案：D利用导数探究含参数函数的性质 结 束 2已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值解：(1
14、)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e又g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e所以切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：利用导数探究含参数函数的性质 结 束 x0，1e1e1e，f(x)0f(x)极小值当t1e时，在区间t，t2 上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t利用导数探究含参数函数的性质 结 束 当0t1e时，在区间t，1e 上f(x)为减函数，在区间1e，t2 上f(x)为增函数，所以f(x)minf1e 1e综上，f(x)mintln t，t1e，1e，0t1e.升级增分训练点击此处