1、单元质检九 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0 或 3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0 答案:D 解析:设所求直线方程为 3x-4y+m=0,由|-1|5=3,解得 m=16 或 m=-14.即所求直线方程为 3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0.2.若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆23+2=1 的一个焦点,则 p=
2、()A.2 B.3 C.4 D.8 答案:D 解析:y2=2px 的焦点坐标为2,0,椭圆23+2=1 的焦点坐标为(3-,0),3p-p=24,解得p=8,故选 D.3.若双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A.2 B.3 C.2 D.233 答案:A 解析:可知双曲线 C 的渐近线方程为 bxay=0,取其中的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为22+2=22-12=3,即2=3,所以 c=2a,所以 e=2,故选 A.4.抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线212 24=
3、1 的渐近线的距离为()A.1 B.3 C.33 D.36 答案:A 解析:抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),其到双曲线212 24=1 的渐近线 x3y=0 的距离 d=|20|1+3=1.5.已知椭圆22+22=1(ab0)与双曲线22 22=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若 c 是a,m 的等比中项,n2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.33 B.22 C.14 D.12 答案:D 解析:由题意可知 2n2=2m2+c2.因为 m2+n2=c2,所以 m=2.因为 c 是 a,m 的等比中项,所以 c2=am,代入 m=2,解得 e=
4、12.6.(2020 全国,理 5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为()A.55 B.255 C.355 D.455 答案:B 解析:由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得 a=1 或 a=5.当 a=1 时,圆心为(1,1),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 d1=|2-1-3|5=255.当 a=5 时,圆心为(5,5),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 d2=|25-5-3|5=255.综上,圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为255.故选 B.7.已知椭圆24+
5、23=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A,B 两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43 B.1 C.45 D.34 答案:D 解析:由24+23=1 得 a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为 4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得 r=34,故选 D.8.若双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过 F 的直线 l 与双曲线相交于 M,N 两点,且 MN的中点为 P(3,1),则双曲线的方程为()A.23-y2=1 B.y2-23=1 C.23-x2=1 D.x2-23=1 答案:B
6、 解析:由题意设该双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则122 122=1,且222 222=1,则(1+2)(1-2)2=(1+2)(1-2)2,即2(1-2)2=6(1-2)2,则1-21-2=6222=1-(-2)3-0=1,即 b2=3a2,则 c2=4a2=4,所以 a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为 y2-23=1.故选 B.9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若 P 为它们在第一象限的交点,F1PF2=60,则双曲线的离
7、心率 e2=()A.2 B.2 C.3 D.3 答案:C 解析:设 F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为 a,双曲线的实半轴长为 m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,即有 4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得112+322=4,e1e2=1,即有24-422+3=0,解得 e2=3.10.(2020 全国,理 10)若直线 l 与曲线 y=和圆 x2+y2=15都相
8、切,则 l 的方程为()A.y=2x+1 B.y=2x+12 C.y=12x+1 D.y=12x+12 答案:D 解析:由 y=得 y=12,设直线 l 与曲线 y=的切点为(x0,0),则直线 l 的方程为 y-0=120(x-x0),即120 x-y+12 0=0,由直线 l 与圆 x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线 l 的距离等于圆的半径 r=55,即|120|140+1=55,解得 x0=1(负值舍去),所以直线 l 的方程为 y=12x+12.11.已知抛物线 y2=2px(p0)与双曲线22 22=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点 A,B(A,B 异于原点),抛物
9、线的焦点为 F.若双曲线的离心率为 2,|AF|=7,则 p=()A.3 B.6 C.12 D.42 答案:B 解析:因为双曲线的离心率为 2,所以 e2=22=2+22=4,即 b2=3a2,所以双曲线22 22=1(a0,b0)的两条渐近线方程为 y=3x,代入 y2=2px(p0),得 x=23p 或 x=0,故 xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+2=23p+2=7,所以 p=6.12.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点,且AFB=(为常数),线段 AB 中点为 M,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 N,若|的最小值为 1,则=
10、()A.6 B.4 C.3 D.2 答案:C 解析:如图,过点 A,B 分别作准线的垂线 AQ,BP,垂足分别是 Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos.|的最小值为 1,a2+b2-2abcos(+)24,当=3 时,不等式恒成立.故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若双曲线 x2-2=1 的离心率为3,则实数 m=.答案:2 解析:由题意知 a=1,b=,m0,c=
11、2+2=1+,则离心率 e=1+=3,解得 m=2.14.抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36,则 p 的值为 .答案:8 解析:设OFM 的外接圆圆心为 O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以 O1在线段 OF 的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以 O1在抛物线上,所以 O1(4,22).又因为圆面积为 36,所以半径为 6,所以216+12p2=36,所以 p=8.15.已知双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆
12、 A,圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为 .答案:233 解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=32 b,|OP|=|2-|2=2-34 2.设双曲线 C 的一条渐近线 y=x 的倾斜角为,则 tan=|=32 2-342.又 tan=,32 2-342=,解得 a2=3b2,e=1+22=1+13=233.16.已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若AMB=90,则 k=.答案:2 解析:设直线 AB:x=my+1,联
13、立=+1,2=4y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1=2.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l上.(1)若圆心 C 也在直线 y=
14、x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.解:(1)由=2-4,=-1,得圆心 C(3,2).又因为圆 C 的半径为 1,所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx-y+3=0,则|3-2+3|2+1=1,所以|3k+1|=2+1,即 2k(4k+3)=0.所以 k=0 或 k=-34.所以所求圆 C 的切线方程为 y=3 或 y=-34x+3,即 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)由圆 C 的圆心在直
15、线 l:y=2x-4 上,可设圆心 C 为(a,2a-4),则圆 C 的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设 M(x,y),则2+(-3)2=22+2,整理得 x2+(y+1)2=4.设方程 x2+(y+1)2=4 表示的是圆 D,所以点 M 既在圆 C 上又在圆 D 上,即圆 C 和圆 D 有交点,所以 2-12+(2-4)-(-1)22+1,解得 a 的取值范围为0,125.18.(12 分)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是 8+215.(1)求椭圆 C
16、的方程;(2)设圆 T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点 M 作圆 T 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,求直线 EF 的斜率.解:(1)由题意,得 e=154=2-2,可知 a=4b,c=15b.PF1F2的周长是 8+215,2a+2c=8+215,a=4,b=1.椭圆 C 的方程为216+y2=1.(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),由题意知过点 M 与圆 T 相切的直线存在斜率,则设其方程为 l:y=kx+1,由直线 y=kx+1 与圆 T 相切可知|2+1|1+2=23,即 32k2+36k+5=0,k1+k2=-98,k1k2=532.由=1+1,216+2=1,得(1+1
17、612)x2+32k1x=0,xE=-3211+1612.同理 xF=-3221+1622,kEF=-=1-2-=1+21-1612=34.故直线 EF 的斜率为34.19.(12 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程.(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由=(-1),2=4得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故 x1+x2=22
18、+42.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=42+42.由题设知42+42=8,解得 k=-1(舍去),k=1.因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则0=-0+5,(0+1)2=(0-0+1)22+16.解得0=3,0=2 或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.20.(12 分)已知在ABC 中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|A
19、C|=4.(1)求动点 A 的轨迹 M 的方程;(2)P 为轨迹 M 上的动点,PBC 的外接圆为O1,当点 P 在轨迹 M 上运动时,求点 O1到 x 轴的距离的最小值.解:(1)根据题意知,动点 A 满足椭圆的定义.设椭圆的方程为22+22=1(ab0 且 y0),所以有|BC|=2c=2,|AB|+|AC|=2a=4,且 a2=b2+c2,解得 a=2,b=3.所以动点 A 的轨迹 M 满足的方程为24+23=1(y0).(2)设 P(x0,y0),不妨设 00),2=2,解得 p=4.抛物线 E 的方程为 y2=8x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,|A
20、B|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.讨论:若 l 垂直于 x 轴,则 l 的方程为 x=2,代入 y2=8x,解得 y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若 l 不垂直于 x 轴,则设 l 的斜率为 k(k0),此时 l 的方程为 y=k(x-2),由=(-2),2=8,得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设 A(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=42+82.抛物线 E 的准线方程为 x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.42+82+4=10,解得 k=2.当 k=2 时,k2
21、x2-(4k2+8)x+4k2=0 化为 x2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0 有两个不相等实数根.k=2 满足题意.存在满足要求的直线 l:2x-y-4=0 或 2x+y-4=0.22.(12 分)已知椭圆 E:22+22=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标;(2)设 O 是坐标原点,直线 l平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于点 P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求 的值.解:(1)由已知
22、,a=2b,则椭圆 E 的方程为222+22=1.由方程组222+22=1,=-+3消去 y,得 3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得 b2=3,此时方程的解为 x=2,所以椭圆 E 的方程为26+23=1,点 T 的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线 l的方程为 y=12x+m(m0),由方程组=12 +,=-+3,可得=2-23,=1+23.所以点 P 的坐标为(2-23,1+23),|PT|2=89m2.设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组26+23=1,=12 +消去 y,得 3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2).由 0,解得-322 m322.由得 x1+x2=-43,x1x2=42-123.所以|PA|=(2-23-1)2+(1+23-1)2=52|2-23-1|,同理|PB|=52|2-23-2|.所以|PA|PB|=54|(2-23-1)(2-23-2)|=54|(2-23)2-(2-23)(1+2)+12|=54|(2-23)2-(2-23)(-43)+42-123|=109 m2.故存在常数=45,使得|PT|2=|PA|PB|.
