1、2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设集合Ax|1x3，Bx|2x6，则AB（）Ax|1x6Bx|3x6Cx|2x3Dx|1x22已知命题p：x（0，+），sinxx，则（）Ap：x（0，+），sinxxBp：x0（0，+），sinx0x0Cp：x（，0，sinxxDp：x0（，0，sinx0x03已知2z+6+i（i为虚数单位），则z（）A2+iB2iC1+iD1i4（x2）5展开式中的常数项为（）A80B80C40D405下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数yax（a0且a1）在（0，+）上是增
2、函数，y（）x是指数函数，所以y（）x在（0，+）上是增函数该结论显然是错误的，其原因是（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D以上都可能6设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83内的个数约为（）附：若XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545A134B136C817D8197若函数y2cosx+ax在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，+）B（，2C2，+）D1，+）8设a50.6，b（）0.7，clog0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcb
3、aDcab9由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A36种B48种C72种D96种10若直线l与曲线y和圆x2+y2都相切，则l的方程为（）Ay2x+1By2x+Cyx+1Dyx+11某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A240B320C180D12012已知a0，b0，且ea+lnba+b，则下列结论一定正确的是（）AabBalnbCeabDa+lnb0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案写在答题卡相应题的横线上13已知ta
4、n3，则sin22sincos 14已知向量，且，则| 15古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式例如+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+形如（n5，7，9，11，）的分数的分解：+，+，+，按此规律， （n3，nN*）16给出下列命题：以模型ycekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设zlny，将其变换后得到线性方程z0.6x+5，则ce5，k0.6；若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；若随机变量XB（100，
5、p），且E（X）20，则D（X）16；根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为其中所有正确命题的序号是 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17已知an是单调递增的等比数列，其前n项和为Sn，a12，且2a2，a4，3a3成等差数列（1）求an和Sn；（2）设bnlog2（Sn+2），cn，求数列cn的前n项和Tn18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BCC1，BC1，ABC1C2，点E是棱C1C的中点（1）求证：BC平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值1
6、9已知函数f（x）lnx+2x，（a0）（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间202021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450950分之间据此绘制的频率分布直方图如图所示并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的
7、方式从分数在550，650）、750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”合计35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2，其中na+b+c+d）P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87
8、910.82821已知函数f（x）lnx，（aZ）（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）（1a）x+1恒成立，求a的最小值选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x3|，不等式f（x）2的解集为（2，4）（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|xa|f（x）恒成立，求实数a的取值范围参考答
9、案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设集合Ax|1x3，Bx|2x6，则AB（）Ax|1x6Bx|3x6Cx|2x3Dx|1x2解：集合Ax|1x3，Bx|2x6，ABx|2x3故选：C2已知命题p：x（0，+），sinxx，则（）Ap：x（0，+），sinxxBp：x0（0，+），sinx0x0Cp：x（，0，sinxxDp：x0（，0，sinx0x0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x（0，+），sinxx，则p：x0（0，+），sinx0x0故选：B3已知2z+6+i（i为虚数单位），则z（）A2+iB2iC1+iD1i解：设za+bi（a，bR），则，2z+
10、6+i，2（a+bi）+（abi）3a+bi6+i，即，解得，z2+i故选：A4（x2）5展开式中的常数项为（）A80B80C40D40解：设（）5展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1x2（5r）（2）rx3r（2）rx105r，令105r0得r2，（）5展开式中的常数项为（2）241040故选：C5下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数yax（a0且a1）在（0，+）上是增函数，y（）x是指数函数，所以y（）x在（0，+）上是增函数该结论显然是错误的，其原因是（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D以上都可能解：该演绎推理的大前提是：指数函数yax（a0且a1）在（0，+）上是
11、增函数，小前提是：y（）x是指数函数，结论是：y（）x在（0，+）上是增函数其中，大前提是错误的，因为0a1时，函数yax在（0，+）上是减函数，致使得出的结论错误故选：A6设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83内的个数约为（）附：若XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545A134B136C817D819解：由题意，75，4，则P（79X83）P（2X+2）P（+X+）（0.95450.6827）0.1359故直径在（79，83内的个数约为0.13591000135.9136
12、故选：B7若函数y2cosx+ax在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，+）B（，2C2，+）D1，+）解：y2cosx+ax在上单调递增，y2sinx+a0，即a2sinx在上恒成立，g（x）2sinx在上单调递增，g（x）maxg（）1，a1，故选：D8设a50.6，b（）0.7，clog0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab解：y5x在R上递增，150a50.6b（）0.750.7，而clog0.60.71，故cab，故选：D9由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A36种B48种C72种D96种解：三人排成一排，
13、有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，恰有两个空座位相邻，三个空座位在种插入方法，恰有两个空座位相邻的不同坐法有72种故选：C10若直线l与曲线y和圆x2+y2都相切，则l的方程为（）Ay2x+1By2x+Cyx+1Dyx+解：直线l与圆x2+y2相切，那么圆心（0，0）到直线的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y2x+1与y联立，可得2x+10，此时无解；对于D选项：yx+与y联立，可得x+0，此时解得x1；直线l与曲线y和圆x2+y2都相切，方程为yx+，故选：D11某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每
14、组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A240B320C180D120解：因为若要求每组至少3人，所以有3，5和4，4两种，若人数为3，5，则有（1）110种；人数为4，4，则有 种；共有110+70180，故选：C12已知a0，b0，且ea+lnba+b，则下列结论一定正确的是（）AabBalnbCeabDa+lnb0解：令f（x）exx，则当x0时，f（x）ex10，f（x）exx在（0，+）单调递增又a0，b0，且ea+lnba+b，即eaaelnblnb，即f（a）f（lnb），若lnb0，则a0lnb；若lnb0，则alnb0；alnb，故选：B二、填空题：本大
15、题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案写在答题卡相应题的横线上13已知tan3，则sin22sincos解：因为tan3，所以sin22sincos故答案为：14已知向量，且，则|5解：由，得2m（1）4，解得m2，所以+2（10，5），故|+2|5故答案为：515古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式例如+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+形如（n5，7，9，11，）的分数的分解：+，+，+，按此规律，（n3，nN*）解：由+，+，+，可推理出：，故答案为：1
16、6给出下列命题：以模型ycekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设zlny，将其变换后得到线性方程z0.6x+5，则ce5，k0.6；若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；若随机变量XB（100，p），且E（X）20，则D（X）16；根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为其中所有正确命题的序号是 解：对于，以模型ycekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设zlny，两边取对数：lnyln（cekx），lnc+kx，令zlny，可得：zlnc+kx，由于
17、z0.6x+5，所以lnc5，k0.6，将其变换后得到线性方程z0.6x+5，则ce5，k0.6；故正确对于，若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为，故正确；若随机变量XB（100，p），且E（X）20，则100p20，解得p，则D（X）np（1p）10016，故正确；根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为感染此病毒的概率为，若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为，故错误故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17已知an是单调递增的等比数列，其前n项和为Sn，a12，且2a2，a4，3a3成等差数列（1
18、）求an和Sn；（2）设bnlog2（Sn+2），cn，求数列cn的前n项和Tn解：（1）设等比数列an的公比为q（q1），由2a2，a4，3a3成等差数列，得2a42a2+3a3，即2a1q32a1q+3a1q2，又a12，所以2q23q20，解得q2或q（舍去），所以an2n；Sn2n+12（2）由（1）可知Sn2n+12，所以bnlog2（Sn+2）log22n+1n+1，所以cn，则Tnc1+c2+cn（）+（）+（）18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BCC1，BC1，ABC1C2，点E是棱C1C的中点（1）求证：BC平面ABC1；（2）求直线AC与平面A
19、EB1所成角的正弦值【解答】（1）证明：BCC1，BC1，C1C2，由余弦定理知，BC2+2BCCC1cosBCC11+4212cos3，BC1，BC2+，即BCBC1，AB侧面BB1C1C，且BC面BB1C1C，ABBC，又ABBC1B，AB，BC1平面ABC1，BC平面ABC1（2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），C（1，0，0），E（，0），B1（1，0），（，2），（，0），（1，0，2），设平面AEB1的法向量为（x，y，z），则，即，令x1，则y，z1，（1，1），设AC与平面AEB1所
20、成角为，则sin|cos，|，故直线AC与平面AEB1所成角的正弦值为19已知函数f（x）lnx+2x，（a0）（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间解：（1）当a1时，f（x）lnx+x22x，f（x），f（1）1，又f（1）1，切点为（1，1），f（x）在x1处的切线方程为：y（1）x1，即yx2（2）由题意：f（x）的定义城为（0，+），f（x）+ax2（a0），当（2）24a0，即a1时，ax22x+10，即f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+），无递减区间；当（2）24a0，即0a1时，令f（x）0，则ax22x+10
21、，解得：x1，x2，且0x1x2，当f（x）0，得0x或x，f（x）的递增区间为（0，），（，+），当f（x）0，得x，f（x）的减区间为（，），综上所述，当a1时，f（x）的增区间为（0，+），无递减区间；当0a1时，f（x）的增区间为（0，），（，+），减区间为（，）202021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450950分之间据此绘制的频率分布直方图如图
22、所示并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在550，650）、750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”合计35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2，其中n
23、a+b+c+d）P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意知：100（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）1，解得a0.0035，则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有，（0.0015+0.001）1002000500（人）（2）由题意可得，从550，650）中抽取7人，从750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3， （k0，1，2，3），故随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望（3）由题可知，样本中3
24、5周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人，得出以22列联表：获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”合计35周岁以上10506035周岁以下152540合计2570100K25.5565.024，故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关21已知函数f（x）lnx，（aZ）（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）（1a）x+1恒成立，求a的最小值解：（1）当a1时，f（x）（x0），令f（x）0，得x1（或x1舍去），当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调
25、递增，f（x）极小值f（1），无极大值（2）f（x）（1a）x+1，即ax2lnx（1a）x+1，即a（x2+2x）2lnx+2x+2，x0，即x2+2x0，原问题等价于a在（0，+）上恒成立，设g（x），x（0，+），则只需ag（x）max，由g（x），令h（x）x+2lnx，h（x）1+0，h（x）在（0，+）上单调递增，h（1）10，h（）+2ln2ln2lnln40，存在唯一的x0（，1），使得h（x0）x0+2lnx00，当x（0，x0）时，h（x）0，则g（x）0，g（x）单调递增，当x（x0，+）时，h（x）0，则g（x）0，g（x）单调递减，g（x）maxg（x0），a即可，x
26、0（，1），（1，2），故整数a的最小值为2选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值解：（1）将曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得：曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为xy20（2）把直线x+y20，转换为参数方程为，代入，得到，故，t1t21，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x3|，不等式f（x）2的解集为（2，4）（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|xa|f（x）恒成立，求实数a的取值范围解：（1）f（x）m|x3|，不等式f（x）2，即m|x3|2，5mxm+1，而不等式f（x）2的解集为（2，4），5m2且m+14，解得：m3；（2）关于x的不等式|xa|f（x）恒成立，即关于x的不等式|xa|3|x3|恒成立可得：|xa|+|x3|3恒成立即|a3|3恒成立，解得：a33或a33，即a6或a0故实数a的取值范围是（，06，+）
