1、44.2对数函数的图象和性质内容标准学科素养1.借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象直观想象数学抽象逻辑推理2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.根据对数函数的性质解决一些问题4.理解反函数.授课提示：对应学生用书第63页教材提炼知识点一对数函数的图象和性质利用列表描点作ylog2x的图象，单调性如何？ylogx图象与ylog2x图象有什么关系？ylog2x在表中对应的y值是多少？xy0.5110214681216 知识梳理0a1a1图象定义域(0，)值域R性质过定点(1,0)，即x1时，y0减函数增函数知识点二反函数的概念y2x图象与ylog2x的图象之间有什么关系？ 知识梳理一般地
2、，指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换自主检测1函数ylogax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A5B.C. D.答案：A2ylog2x的图象与ylogx的图象关于_对称答案：x轴3ylogax1(a0且a1)的图象过定点_答案：(1,1)4log23.4与log28.5的大小关系为_答案：log23.4log28.5授课提示：对应学生用书第63页探究一对数函数的图象例1教材P133图象拓展探究(1)如图所示的曲线是对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为
3、_解析由图可知函数ylogax，ylogbx的底数a1，b1，函数ylogcx，ylogdx的底数0c1,0d1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然ba1dc0.答案ba1dc(2)函数f(x)ax2loga(x1)1(a0，a1)的图象必经过点_解析当x2时，f(2)a0loga112，所以图象必经过点(2,2)答案(2,2)(3)作出函数y|log2(x1)|的图象解析第一步：作出函数ylog2x的图象(如图)；第二步：将ylog2x的图象向左平移1个单位长度，得函数ylog2(x1)的图象(如图)；第三步：将函数y
4、log2(x1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y|log2(x1)|的图象(如图)1.含绝对值的函数图象的变换含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换一般地，yf(|xa|)的图象是关于直线xa对称的轴对称图形；函数y|f(x)|的图象与yf(x)的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称2对数函数ylogax的底数a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示3两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x1右侧的部分是“底大图低”，如图，如图.探究二比较大小、解不等式例2比较下列各组数的大小：(1)log与log；(2)log3与lo
5、g3；(3)loga2与loga3.解析(1)ylogx在(0，)上递减，又因为，所以loglog.(2)法一：log3log3.ylg x是增函数，lglg0lg 3.log3log30，log30，且a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.解析：(1)因为函数yln x是增函数，且0.32，所以ln 0.31时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.1loga5.2.(3)因为0log0.23log0.24，所以，即log30.23，所以log3log3
6、31.同理，1loglog3，所以log3log3.例3(1)解不等式log2(x1)log2(1x)；(2)若loga1，求实数a的取值范围解析(1)原不等式等价于，解得0x1，则loga1.若0a1，则loga1logaa，0a，综上所述：实数a的取值范围是(1，)(1)logaf(x)1与不等式组同解(2)logaf(x)logag(x)，0a1及0a0得函数f(x)的定义域为.a1时，t2x23x2在(2，)上为增函数，在上为减函数，f(x)在(2，)上为增函数，在上为减函数0a1时，f(x)的单调增区间为(2，)，单调减区间为；当0a1定义域内f(x)的单调增区间定义域内f(x)的单
7、调减区间0a1定义域内f(x)的单调减区间定义域内f(x)的单调增区间求函数f(x)log2(x21)的单调区间解析：令x210，x1或x1.设ux21，当x1时，ux21为增函数a21，f(x)log2(x21)的增区间为(1，)当x1时，ux21为减函数f(x)log2(x21)的减区间为(，1)探究四函数ylogaf(x)的最值与值域例5求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)ylog(32xx2)解析(1)设ux244.而ylog2u是增函数ylog242.函数ylog2(x24)的值域为2，)(2)ylog(32xx2)，设t32xx2(x1)24.令t0，1x3.0t4
8、.又ylogt为减函数ylog42函数ylog(32xx2)的值域为2，)求形如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数的值域的步骤(1)分解成ylogau，uf(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用ylogau的单调性求解设f(x)则f(x)的值域为_解析：当x1时，f(x)logxlog10.当x1时，f(x)2x(0,2)故函数f(x)的值域为(，2)答案：(，2)授课提示：对应学生用书第66页一、“化整为零”求解对数综合问题常见的对数函数的综合问题及解决策略(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：由f(x)f(x)直接
9、列关于参数的方程(组)求解由f(a)f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，求解，但此时需检验(2)用定义证明ylogaf(x)型函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系典例已知函数f(x)ln是奇函数(1)求m的值；(2)判定f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明解析(1)f(x)lnln，f(x)lnln，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即lnln，解得m1.当m1时，1，函数无意义，m1.(2)f(x)在(1，)上是减函数，证明如下：由(1)知f(x)lnln.任取x1，x2满足1x1x2，则.x
10、2x10，x110，x210.0，11，ln(1)ln，即f(x1)f(x2)，f(x)在(1，)上为减函数二、忽视对对数函数的底数的讨论典例函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，求a的值解析当a1时，因为函数 ylogax(a0且a1)在2,4上的最大值是loga4，最小值是loga2，所以loga4loga21，即loga1，所以a2.当0a1时，ylogax在2,4上的最大值为loga2，最小值为loga4，loga2loga41，loga1，a.综上，a2或a.纠错心得此题易忽略对底数a的分类讨论，而只解一种情况求闭区间上函数的最值时必须明确函数的单调性，
11、否则需分类讨论三、互为反函数的两个函数图象间的关系根据指数与对数的关系，由yax(a0，且a1)可以得到xlogay(a0，且a1)，x也是y的函数通常，我们用x表示自变量，y表示函数为此，将xlogay(a0，且a1)中的字母x和y对调，写成ylogax(a0，且a1)则yax与ylogax(a0，a1)为互为反函数；其图象关于yx对称yax与xlogay(a0，a1)是等价形式原函数yax(a0，a1)的定义域R是反函数ylogax的值域原函数yax的值域(0，)是ylogax的定义域原函数yax的点(x0，y0)，则(y0，x0)在ylogax上典例设函数yx2与函数y10x和ylg x分别交于A、B两点，若设A(x1，y1)、B(x2，y2)，求x1x2的值解析y10x与ylg x是互为反函数其图象关于yx对称A(x1，y1)在y10x上B(x2，y2)在ylg x上A、B两点关于yx对称即B(y1，x1)，x1x2x1y1.又A(x1，y1)在yx2上y1x12x1y12.x1x22.