1、 函数与方程 结 束 压轴题命题区间(一)函数与方程函数零点个数的判断典例 已知函数f(x)1|x1|，x1，x24x2，x1，则函数g(x)2|x|f(x)2的零点个数为_ 函数与方程 结 束 解析 由g(x)2|x|f(x)20，得f(x)12|x|1，作出yf(x)，y12|x|1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2答案 2 函数与方程 结 束 方法点拨判定函数零点个数的3种方法 解方程方程f(x)0根的个数即为函数yf(x)零点的个数定理法利用函数零点存在性定理及函数的性质判定图象法转化为求两函数图象交点的个数问题进行判断 函数与方程 结 束 1(2017山西四校联考)
2、已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1则方程f(x)12log2|x|在区间3,5内解的个数是()A5 B6C7 D8解析：由题意画出 y1f(x)，y212log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为 5答案：A对点演练 函数与方程 结 束 2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点个数为_解析：设x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)x3的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23
3、x3x，解得x32 7，所以函数g(x)f(x)x3的零点的集合为27，1,3，共3个答案：3 函数与方程 结 束 典例(1)如图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A14，12B(1,2)C12，1D(2,3)函数零点区间的确定 函数与方程 结 束 解析 由函数图象可知0b1，f(1)0，从而2a1，f(x)2xa，所以g(x)ln x2xa，函数g(x)ln x2xa在定义域内单调递增，g12 ln 121a0，g(1)ln 12a0，所以函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是12，1 答案 C 函数与方程 结 束 (2)(201
4、6海口调研)已知曲线f(x)ke2x在点x0处的切线与直线xy10垂直，若x1，x2是函数g(x)f(x)|ln x|的两个零点，则()A1x1x2 eB 1ex1x21C2x1x22 eD 2ex1x22 函数与方程 结 束 解析依题意得f(x)2ke2x，f(0)2k1，k12在同一坐标系下画出函数yf(x)12e2x与y|ln x|的大致图象如图所示，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，)，不妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有12e2x1|ln x1|ln x112e2，12，12e2x2|ln x2|ln
5、 x20，12e2，12e2x212e2x1ln x2ln x1ln(x1x2)12，0，于是有e12x1x2e0，即 1ex1x21答案 B 函数与方程 结 束 方法点拨函数零点存在性定理是解决函数零点问题的主要依据，这个定理能够判断函数零点的存在，并且能找到零点所在的区间在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断这个区间上零点的个数 函数与方程 结 束 对点演练1已知实数a，b满足2a3,3b2，则函数f(x)axxb的零点所在的区间是()A(2，
6、1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：2a3,3b2，a1,0b1，又f(x)axxb，f(1)1a1b0，f(0)1b0，从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点答案：B 函数与方程 结 束 2(2017郑州质检)已知定义在R上的奇函数yf(x)的图象关于直线x1对称，当0 x1时，f(x)log 12 x，则方程f(x)10在(0,6)内的所有根之和为()A8B10C12 D16解析：奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)f(2x)f(x)，即f(x)f(x2)f(x4)，f(x)是周期函数，其周期T4当0 x1时，f(x)log 12 x，故f(x)在(
7、0,6)上的函数图象如图所示由图可知方程f(x)10在(0,6)内的根共有4个，其和为x1x2x3x421012，故选C答案：C 函数与方程 结 束 典例 已知函数f(x)2|x|，x2，x22，x2，函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A74，B，74C0，74D74，2求与零点有关的参数的取值范围 函数与方程 结 束 解析 由f(x)2|x|，x2，x22，x2，得f(2x)2|2x|，x0，x2，x0，所以f(x)f(2x)2|x|x2，x0，4|x|2x|，0 x2，2|2x|x22，x2，即f(x)f(2x)x2x2，x0，2
8、，0 x2，x25x8，x2，函数与方程 结 束 所以yf(x)g(x)f(x)f(2x)b，所以yf(x)g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个公共点，由图象可知74b2答案 D 函数与方程 结 束 方法点拨已知函数有零点(方程有根)求参数值或取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数：先将参数分离，转化为求函数值域加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解 函数与方程 结 束 对点演练1已知函数
9、f(x)x2，xa，x25x2，xa，若函数 g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是()A1,1)B0,2C2,2)D1,2)函数与方程 结 束 解析：g(x)f(x)2xx2，xa，x23x2，xa，要使函数 g(x)恰有三个不同的零点，只需 g(x)0 恰有三个不同的实数根，所以xa，x20 或xa，x23x20，所以 g(x)0 的三个不同的实数根为 x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a2所以实数 a 的取值范围是1，2)答案：D 函数与方程 结 束 2(2017长春质检)已知函数f(x)22f x1，当x(0，1时，f(x)x2，若在区间(1,1内，g(x)f(x)t(x1)有两个不同的零点，则实数t的取值范围是()A12，B12，12C12，0D0，12 函数与方程 结 束 解析：当x(1,0时，x1(0,1，f(x)2f x122x12 2xx1，所以函数f(x)在(1，1上的解析式为f(x)2xx1，x1，0，x2，x0，1，作出函数f(x)在(1,1上的大致图象如图令yt(x1)，yt(x1)表示恒过定点(1,0)、斜率为t的直线，由图可知直线yt(x1)的临界位置，此时t 12，因此t的取值范围是0，12 故选D答案：D 升级增分训练点击此处
