1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第六节 数学归纳法 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题上一页返回首页下一页高三一轮总复习1数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：当 n 取第一个值 n0(如 n01 或 2 等)时，命题成立；(2)在假设当 nk(kN*，kn0)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立上一页返回首页下一页高三一轮总复习2数学
2、归纳法的框图表示上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n1 时结论成立()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk1 时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证 n1 时，左边式子应为 122223.()答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(2016银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验 n 等于()A
3、1B2C3D0C 因为凸 n 边形最小为三角形，所以第一步检验 n 等于 3，故选 C.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 121314 1n 21n2 1n4 12n 时，若已假设 nk(k2，且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立B k 为偶数，则 k2 为偶数上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(教材改编)已知an满足 an1a2nnan1，nN*，且 a12，则 a2_，a3_，a4_，猜想 an_.3 4 5 n1上一页返回首页下一页高三一
4、轮总复习5用数学归纳法证明：“1121312n11)”由 nk(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项的项数是_.【导学号：57962319】2k 当 nk 时，不等式为 1121312k1 2n12均成立上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明(1)当 n2 时，左边11343；右边 52.左边右边，不等式成立.3 分(2)假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即113 115 112k1 2k12.6 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习则当 nk1 时，113 115 112k1 112k11 2k122k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k3
5、2 2k1 2k3 2k12 2k1 2k112.10 分 当 nk1 时，不等式也成立 由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法 2用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 时命题成立，再证 nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 已知数列an，当 n2 时，an1，又 a10，
6、a2n1an11a2n，求证：当 nN*时，an1a2.3 分(2)假设当 nk(kN*)时，ak1ak，5 分 a2k1a2k(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10.8 分 又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当 nk1 时，命题成立 由(1)(2)可知，当 nN*时，an10，nN*.(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)当 n1 时，由已知得 a1a12 1a11，a212a120.a1 31(a10).2 分 当 n2 时，由已知得 a1a2a22 1a21，将 a1 31
7、代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN*).5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)证明：由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立 假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1.7 分 由于 ak1Sk1Skak12 1ak1ak2 1ak，将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 时通项公式成立.10 分 由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.猜
8、想an的通项公式时应注意两点：(1)准确计算 a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明 ak1 时，ak1 的求解过程与 a2，a3 的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系 2“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3(2016洛阳调研)已知数列xn满足 x112，xn111xn，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论.【导学号：57962321】上一页返回首页下一页高三一轮
9、总复习解 由 x112及 xn111xn，得 x223，x458，x61321，由 x2x4x6 猜想：数列x2n是递减数列.3 分 下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，已证命题成立.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)假设当 nk(k1，kN*)时命题成立，即 x2kx2k2，易知 xk0，那么 x2k2x2k411x2k111x2k3 x2k3x2k11x2k11x2k3 x2kx2k21x2k1x2k11x2k21x2k30，9 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习即 x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当 nk1 时命题也成立 结合(1)(2)知，对任意 nN*命
10、题成立.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据 2在推证 nk1 时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要弄清 nk 与 nk1 之间的关系在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1第一步验证当 nn0 时，n0 不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值 2由 nk 时命题成立，证明 nk1 时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法 3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（三十七）点击图标进入