1、专题过关检测（十五） 空间几何体与空间位置关系A级1已知直线a与直线b平行，直线a与平面平行，则直线b与的关系为()A平行B相交C直线b在平面内 D平行或直线b在平面内解析：选D依题意，直线a必与平面内的某直线平行，又ab，因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内2.如图，正方形OABC的边长为2 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是()A12 cmB16 cmC4(1)cmD4(1)cm解析：选B由直观图可得原图如图所示，且OA2 cm，OB2OB4 cm，所以AB6 cm，所以周长为16 cm.3(2019广东省七校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1
2、D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选C如图，连接CD1，AD1，则A1BCD1，ACD1是异面直线AC与A1B所成的角或其补角易知ACD1是等边三角形，ACD160，异面直线AC与A1B所成的角为60.故选C.4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为()A2 B5C8 D10解析：选C由题得几何体原图是球被切割后剩下的，所以它的表面积由三个部分组成，所以S42222228.5已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是()A如果mn，m，n，那么B如果m，那么mC如果l，m，m，那么mlD如果mn，m
3、，n，那么解析：选D对于A，如果mn，m，则n或n，因为n，则，故正确；对于B，如果m，那么m与无公共点，则m，故正确；对于C，如果l，m，m，则ml，故正确；对于D，如果mn，m，n，那么与的关系不确定，故错误6九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42C44 D46解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABCA1B1C1，其直观图如图所示，其中ABAA12，BCAC，C90，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S(22)244.7.如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条
4、件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：选BA中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，平面BPC平面APCPC，BCPC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.8如图，圆锥形容器的高为h，容器内水深为h1，且h1h，若将圆锥形容器倒置，水深为h2，则h2()A.h B.hC.h D.h解析：选D设圆锥形容器的底面积为S，则倒置前水面的面积为S，所以水的体积VSh
5、S(hh1)Sh.设倒置后水面的面积为S，则2，所以S，所以水的体积VSh2，所以Sh，解得h2h.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.解析：选C如图，连接BE，因为ABCD，所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tan EAB，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.10(2019贵州适应性考试)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：若，则；若，m，n，则mn；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确命题的序号是()A BC D解析：选D对于，同垂直于
6、一个平面的两个平面可能相交，命题错误；对于，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题错误；对于，直线m与n可能异面，命题错误；对于，由面面平行的性质定理知命题正确故正确命题的序号是，选D.11如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的结论是()A BC D解析：选B由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC
7、是等边三角形，正确；易知DADBDC，结合知正确；由知不正确故选B.12.如图，已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为()A. B8C16 D64解析：选C由题知EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为EAB的重心G，又由平面EAB平面ABCD，则OGA为直角三角形，OG1，AG，所以R24，所以多面体EABCD的外接球的表面积为4R216.13(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件
8、，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.答案：若m且l，则lm成立(或若lm，l，则m)14.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BOAC，所以BO平面ACC1D.因为AB2，所以BO.因为D为棱AA1的中点，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱锥BACC1D的体积为62.答案：215在棱
9、长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，点M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为_解析：因为，所以点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即三棱锥PMBC的高h1.M为线段B1C1上的动点，所以SMBC33，所以VMPBCVPMBC1.答案：16(2020届高三广东七校联考)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD底面ABCD，且PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为_解析：由题意知，球内切于四棱锥PABCD时半径最大设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VPA
10、BCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即2a2a2ar，解得r(2)a.答案：(2)aB级1(2019沈阳质量监测(一)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点P在球面上，则四棱锥PABCD体积的最大值为()A8 B.C16 D.解析：选D设球的半径为R，由题知4R216，则R2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2y216，则矩形面积xy8，当且仅当xy时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大四棱锥PABCD的高的最大值为2，故四棱锥PABCD体积的最大值为82，选D.2(2019合肥第二
11、次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A2对 B3对C4对 D5对解析：选C由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥SABCD，平面SCD平面ABCD.因为ADDC，BCDC，且平面SCD平面ABCDDC，所以AD平面SCD，BC平面SCD，所以平面SAD平面SCD，平面SBC平面SCD.又由三视图知SCSD，同时由AD平面SCD，知ADSC，又SDADD，所以SC平面SAD，所以平面SBC平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，
12、故选C.3(2019沈阳质量监测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；异面直线AC与A1B成60角；AC1与底面ABCD所成角的正切值是.解析：对于，BDB1D1，BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，正确；对于，AA1平面A1B1C1D1，AA1B1D1，连接A1C1，又A1C1B1D1，B1D1平面AA1C1，B1D1AC1，同理B1CAC1，AC1平面CB1D1，正确；对于，易知ACA1C1，异面直线AC与A1B所成的角为BA1C1，连接BC1，又A1C1B为等边三角形
13、，BA1C160，异面直线AC与A1B成60角，正确；对于，AC1与底面ABCD所成的角的正切值是，故不正确故正确的结论为.答案：4已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3，令y72hh3，则y722h2，令y0，得0h6，令y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：65已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)ABCD的外接球，BC3，AB2，点E在线段BD上，且BD3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是_解析：如图，设BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，则O1D3sin 60，AO13，在RtOO1D中，R23(3R)2，解得R2，BD3BE，DE2，在DEO1中，O1E1，OE，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为，面积为2.答案：2