1、【课时训练】基本不等式及其应用一、选择题1(2018内蒙古包头模拟)已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aab2B2C2Da2b22ab【答案】C【解析】因为和同号，所以2.2(2018郑州外国语学校月考)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【答案】C【解析】当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正、负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确3(2018汉中一模
2、)“a0，b0”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由a0，b0可得，当且仅当ab时取等号反之，若，则ab0，可得a0，b0，故选C.4(2018湖南长沙质检)设x0，y0，且2xy6，则9x3y有()A最大值27B最小值27C最大值54D最小值54【答案】D【解析】因为x0，y0，且2xy6，所以9x3y22254，当且仅当x，y3时，9x3y有最小值54.故选D.5(2018杭州一模)若a0，b0且ab7，则的最小值为()AB1CD【答案】B【解析】本题考查利用基本不等式求最值因为b7a，所以(a9a)(414)1，当且仅当时取得等
3、号，故选B.6(2018吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)ax12(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则的最小值为()A4B5C6D32【答案】D【解析】由题意，知A(1，1)，因为点A在直线mxny10上，所以mn1.所以(mn)3，因为m0，n0，所以33232，当且仅当时，取等号故选D.7(2018吉林九校第二次联考)若正数a，b满足1，则的最小值是()A1B6C9D16【答案】B【解析】正数a，b满足1，b0，解得a1.同理可得b1，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时取等号，最小值为6.故选B.8(2018陕西西安模拟)若a0，b0
4、，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为()A2B3C6D9【答案】D【解析】函数f(x)4x3ax22bx2的导数f(x)12x22ax2b，由于函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则有f(1)0，即有ab6(a，b0)，由于ab2，即有ab29，当且仅当ab3时取等号故选D.9(2018东北育才学校模拟) 已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2B4C6D8【答案】B【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4.10(201
5、8沈阳质量监测)设向量(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4BC8D9【答案】D【解析】(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0.2ab1.又a0，b0，(2ab)552 9，当且仅当 即ab时取等号11(2018贵州六校联考)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1)B(，21)C(1,21)D(21,21)【答案】B【解析】由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，当且仅当3x，即xlog32时，取等号，k12，即k0，b0)过曲线y1sin x(0x2)的对称中心，则的最小值为()A1B4C32D6【答案】C【解析】注意到曲线y1sin x(0x0，b0，由条件，得a2b22(ab)，(ab)2a2b22ab2(a2b2)，当且仅当ab时取等号，(ab)24(ab)ab4.又(ab)22(ab)2ab0，ab2.2ab4，即20且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线40(m0，n0)上，则mn的最小值为_ 【答案】1 【解析】由题意可知函数yloga x1的图象恒过定点A(1,1)，点A在直线40上，4.m0，n0，mn(mn)1，当且仅当mn时取等号，mn的最小值为1.