1、1.2.1 函数的概念1函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数yf(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数yf(x)的值域，则值域是集合B的子集注意：(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、
2、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这三性只要有一个不满足便不能构成函数2常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数ykx(k0)_R反比例函数y(k0)x|_y|y0一次函数ykxb(k0)R_二次函数yax2bxc(a0)Ra0ya0有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围例如函数y的定义域为0，)，函数y的定义域为(，1)(1，)（1）函数yf(x)的定义域为P，值域为Q，对于mP，与m对应的函数值为n，则有()AnP Bmn CnPQ Dn唯一（
3、2）函数y52x的定义域是()AR BQ CN D（3）函数y2x2x的值域是_3区间与无穷大(1)区间的概念设a，b是两个实数，且ab.定义名称符号数轴表示x|axb 闭区间x|axb开区间x|axb半闭半开区间x|axb半开半闭区间这里的实数a与b都叫做相应区间的端点并不是所有的数集都能用区间来表示例如，数集M1,2,3,4就不能用区间表示由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示(2)无穷大“”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大”，满足xa，xa，xa，xa的实数x的集合可用区间表示，如下表定
4、义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)（1）集合x|x1用区间表示为()A(，1) B(，1 C(1，) D1，)（2）区间5,8)表示的集合是()Ax|x5，或x8 Bx|5x8 Cx|5x8 Dx|5x84函数相等一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由_和_决定的如果两个函数的定义域相同，并且_完全一致，我们就称这两个函数相等函数符号f(x)的意义剖析： (1)符号yf(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当
5、自变量xm时对应的函数值，是一个常量(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算例如f(x)x2x5，当x2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替如：f(2x1)(2x1)2(2x1)5，fg(x)g(x)2g(x)5.题型一 函数关系的判断【例1】 下列式子能否确定y是x的函数？(1)x2y22； (2)1； (3)y.反思：(1)判断一个对应关系f：AB是否是函数，要从以下三个方面去判断：A，B必须是非空数集；A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素
6、在B中必有唯一元素与其对应(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”题型二 求函数值【例2】 已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求fg(3)的值题型三 求函数的定义域【例3】 求函数y的定义域反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分构成
7、的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约题型四 判断函数相等【例4】 判断下列各组函数是否是相等函数：(1)f(x)x2，g(x)；(2)f(x)(x1)2，g(x)x1；(3)f(x)x2x1，g(t)t2t1.反思：判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等题型五 易混易错题易错点求函数定义域时先化简函数关系式【例5】
8、求函数y的定义域答案：【例1】 解：(1)由x2y22，得y.当x1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数(2)由1，得y(1)21.所以当x在x|x1中任取一个值时，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数(3)因为不等式组的解集是，即x取值的集合是，故y不是x的函数【例2】 解：(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11).【例3】 解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x1，且x1，即函数的定义域是x|x1，且x1【例4】 解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x2由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是
9、相等函数(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同由于f(x)与g(x)的表达式不相同，故f(x)与g(x)不是相等函数(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数【例5】要使函数有意义，必须使(x2)(x3)0，即x20且x30，解得x2且x3，故所求函数的定义域为x|x2，且x31函数y的定义域为() Ax|x1 Bx|x0 Cx|x1，或x0 Dx|0x12下列式子中，y不是x的函数的是()Axy21 By2x21 Cx2y6 Dx3已知函数f(x)2x1，则ff(2)_.4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由(1)yx1，xR与y
10、x1，xN； (2)y与y； (3)y1与y1.5已知函数f(x)x21，xR.(1)分别计算f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明答案：1 D要使函数有意义需解得0x1.2 A选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x5时，y2.故y不是x的函数3 5f(2)2213，ff(2)f(3)3215.4解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等(2)前者的定义域是R，后者的定义域是x|x0，它们的定义域不同，故不相等(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等5解：(1)f(1)f(1)(121)(1)21220；f(2)f(2)(221)(2)21550；f(3)f(3)(321)(3)2110100.(2)由(1)可发现结论：对任意xR，有f(x)f(x)证明如下：由题意，得f(x)(x)21x21f(x) 故对任意xR，总有f(x)f(x)6
