1、专题16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论 图1中， 图2中，只要下述四个条件：；中任意两个成立，就可以推出其余两个成立 B C A D 图1 A D B C 1 2 图2 例题与求解【例1】如图，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则A=_ （五城市联赛试题）解题思路：图中有很多
2、相关的角，用A的代数式表示这些角，建立关于A的等式 A B C D E 【例2】如图，在ABC中，已知BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：ADB=CDF（安徽省竞赛试题）解题思路：ADB与CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线A B C D E F 【例3】如图，在ABC中，AC=BC，ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是ABC的角平分线（北京市竞赛试题）解题思路：ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图
3、形，构造全等三角形、等腰三角形A E B C D 【例4】如图，在ABC中，BAC=BCA=440，M为ABC内一点，使MCA=300，MAC=160，求BMC度数 （北京市竞赛试题） B C M A B C M A 图3 N 解题思路：作等腰ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边ACN，连结BN(如图3) B C M A 图1 D O B C M A 图2 N 【例5】如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC=1200的等腰三角形
4、，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形求证：AMN的周长等于2（天津市竞赛试题） 解题思路：欲证AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明 B A C D N M 【例6】如图，ABC中，ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，DAB=210，试确定CAD的度数（北京市竞赛试题） 解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件B D C A 能力训练A级1如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_2如图，已知A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则FEM=_3如图，在等边ABC的AC
5、，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则 BOQ=_.4如图，在ABC中，BCA=900，BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是_(第2题) B A C D E F M N A B C Q P O (第3题) A B C D (第4题) 5如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么EDF等于（ ） A900-AB900-A C1800-A D450-A6如图，在ABC中，ACB=900，AC=AE，BC=BF，则ECF=（ ） A600B450 C300D不确定（安徽省竞赛试题） A C B
6、 E F 第5题图 第6题图7ABC的一个内角的大小是400，且A=B，那么C的外角的大小是（ ）A1400B800或1000C1000或1400D800或1400(“希望杯”邀请赛试题)8三角形三边长，满足，则三角形一定是（ ）A等边三角形B以为底边的等腰三角形C以为底边的等腰三角形D等腰三角形 （北京市竞赛试题）9如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG （湖北省竞赛试题）A B C D G E 10如图，在ABC中，BAC=900，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，求证：CE=BD（江苏省竞赛试题）A B
7、C D E 11已知RtABC中，AC=BC，C=900，D为AB边中点，EDF=900，将EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1)，易证：SDEF+SCEF=SABC，当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （牡丹江市中考试题）A B C A B C A B C E D F E D F D F 图1 图2 图3 12如图，在ABC中，AB=AC，BAC=800，O为ABC内
8、一点，且OBC=100，OCA=200，求BAO的度数（天津市竞赛试题） B级1如图，在ABC中，ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则MNP=_ A B C N M P (第1题) A B C P E F (第2题) A B C N M (第3题) 2如图，在ABC中，AB=AC，BAC=900，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S四边形AEPF=SABC；EF=AP当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)上述结论正确的是_ （苏州市中考试题）3如图，在ABC中，AB=BC，M，
9、N为BC边上两点，并且BAM=CAN，MN=AN，则MAC的度数是_4如图，在ABC中，AB=AC，BAC与ACB的平分线相交于D，ADC=1300，那么CAB的大小是（ ）A800 B500 C400 D200 A (第4题) B C D (第5题) A B C D A B D E C M (第6题) 5如图，在ABC中，BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，则C的大小是（ ） A200 B250 C300 D4506如图，在ABC中，AC=BC，ACB=900，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：ADC=450；BD=AE
10、；AC+CE=AB；AB-BC=2MC其中正确结论的个数为（ ） A1个 B2个 C3个 D4个7如图，已知ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DEA B C D E 8如图，ABC中，已知C=600，ACBC，又ABC、ABC、ABC都是ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC 证明：CBDBDC； 证明：ACDDBA； 对ABC、ABC、ABC、ABC，从面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）A B C D A B C 9在ABC中，已知AB=AC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求A
11、BC各内角的度数 （江苏省扬州中学测试题）10如图，在ABC中，C=900，CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BDA B C D 11已知ABC中，B为锐角，从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点，又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K，试问：当，是整数时，ABC是怎样的三角形？并证明你的结论 （“智能杯”通讯赛试题）专题16 等腰三角形的性质例1 45例2 提示：过点A作A的平分线BD交于G，先证明ABGACF，再证明AGDCFFD例3 提示：延长BC，AE交于一点.、例4 提示：如图，作BDAC于D，则OCD=OAD=30，BA0=4430=14，MAO=O
12、ACMAC=14，BAO=MAO，又AOD=COD=9030=60，AOB=AOM=120，OB=OM.又AO=AO，AOBAOM又BOM=120，OMB=30，故BMC=180OMB=150.例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由RtBDMRtCDM1，得MD=M1D，MDB= M1DC.MDM1=120MDB+M1DC=120，又MDN=60，NDM1=60，MD=MD1， MDN=NDM1=60，DN=DN，MDNM1DN，得MN=NM1，故AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.例6 解法1 如图a，作ABD关于AD的轴对称图形ADC，则
13、EAD=21，AE=AB，DE=BD，又ADC=21+46=67，故ADE=ADB=18067=113， CDE=11367=56，连CE，可证CDEABDAED，ODE=OED=46，得OD=OE，又DC=AE， 则AO=CO，OCA=OAC， COE=2ACO， COE=246=92=2ACO.从而ACO=46=OAC，DAE+EAC=67.解法2 如图b，过A点作AEBC.过D作DEAB，连接EC.EDC=ABC=46，DE=AB=CD，DCE=CED=（18046）=67ADC=ABC+BAD=46+21=67ADC=DCE，AD=EC.梯形ADCE为等腰梯形AC=DE（等腰梯形对角线
14、相等），AB=AC=CD，DAC=ADC=67.A级1. 67.5或22.5 2.75 3.60 4.8 5.A 6.B 7.B 8.D 提示：由已知得(bc)(ab)(a+c)=0，故b=c或a=b.9. 提示：过D作DFAC交BC于F，证明DFGECG.10. 提示：延长CE交BA的延长线于F，证明BECBEF，再证明AFCADB.11. 提示：图2成立，联系图1，可证明ECDFBD，图3不成立，此时12.作BAC的角平分线与CO的延长线交于D，连BD，则ABDACD，则ABD=ACD=30， OBD=ABCOBCABD=20=ABD， DOB=OBC+OCB=40=DAB，从而ABDOB
15、D，AB=OB，即ABO为等腰三角形，得BAO=（18040）=70B级1.40 2. 提示：连AP.3. 60提示：设CAN=BAM=，MAN=，则C=BAC=2+，AMN=4. D 5.A 6.D7. 提示：延长BD到F，使DF=BC，则BEF为等边三角形，再证明BCEFDE8.证明略；由得CD=AC=AB，由得DB=BA=CA，又AD=AD，ACDDBA；SABCSABCSABCSABC，SABC+ SABC= SACB+ SABC9.满足题意的图形有以下四种情形：ABEC图bABCF图c图dABCGABDC图a10.提示：在ACD内以CD为边作等边ECD，连AE，则ACEADE.CAE=CAD=15，又DCB=90-ACD=90-75=15，CAE=BCD=ECA. 又AC=BC，CE=CD，ACEBCD，DBC=EAC=15. DCB=DBC，DC=DB.ACBED11.设，因BHBA，BKBC，故mn4，得；当m=n=1时，BH=BC，BK=AB，ABC是等边三角形.当m=1，n=2时，BH=BC，BK=AB，ABC是A为直角的等腰直角三角形.当m=1，n=3时，BH=BC，BK=AB，ABC是A为120的等腰三角形.当m=2，n=1时，ABC是以C为直角的等腰直角三角形.当m=3，n=1时，ABC是以C为120的等腰三角形.