1、专题15多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素善于在复杂的图形中发现、分
2、解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有（）A4个B3个C2个D1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例【例2】如图，已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB求证：（1）APAQ；（2
3、）APAQ（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明PAQ90 【例3】如图，已知为AD为ABC的中线，求证：AD（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手 【例4】如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E求证：ABACBD（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AFAC，以下只要证明FBBD即可，于是将问题转化为证明两线段相等 【例5】如图1，CD是
4、经过BCA顶点C的一条直线，CACB，E，F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图2，若BCA90，90，则BECF，EF（填“”、“”或“”）；如图3，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）图1图2图3图4（台州市中考试题）解题思路：对于，可用进行逆推，寻找BCECAF应满足的条件对于（2）可用归纳类比方法提出猜想【例6】如图，在四边形ABCD中，AC
5、BBAD105，ABCADC45求证：CDAB（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得CAB30，GAC75，DCA60，ACBDAC180，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等 能力训练A级1如图，在ABC中，C90，BC40，AD是BAC的平分线交BC于D，且DCDB35，则点D到AB的距离是第1题第2题第3题第4题2如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD3cm，CE4cm，则DE3如图，ABE和ACF分别是以ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则EOB4如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于
6、点E，若AC平分DAB，且ABAE，ACAD有如下四个结论：ACBD；BCDE；DBCDAB；ABE是等边三角形请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5如图，点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若123，ACAE，则（）AABDAFDBAFEADCCAFEDFCDABCADE第5题第6题第7题6如图，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E若AB6cm，则DEB的周长为（）A5cmB6cmC7cmD8cm7如图，从下列四个条件：BCBC；ACAC；ACABCB；ABAB中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的
7、正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个（北京市东城区中考试题）8如图1，在锐角ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于F，且BFAC（1）求证：ED平分FEC；（2）如图2，若ABC中，C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明 图1图29在等腰RtAOB和等腰RtDOC中，AOBDOC90，连AD，M为AD中点，连OM（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由 图1图210如图，已知12，EFAD于P，交BC延长线于M求证：M （天津
8、市竞赛试题） 11如图，已知ABC中，A60，BE，CD分别平分ABC，ACB，P为BE，CD的交点求证：BDCEBC 12如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA（1）求证：DE平分BDC；（2）若点M在DE上，且DCDM，求证：MEBD（日照市中考试题）B级1在ABC中，高AD和BE交于H点，且BHAC，则ABC（武汉市竞赛试题）2在ABC中，AD为BC边上的中线，若AB5，AC3，则AD的取值范围是（“希望杯”竞赛试题）第2题第3题第4题第5题3如图，在ABC中，ABAC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较
9、大的一个是4如图，已知ABCD，ACDB，AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等的三角形有（）A5对B6对C7对D8对5如图，AD是ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DEDF，则（）ABECFEFBBECFEFCBECFEFDBECF与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A相等B不相等C互余D.互补或相等（北京市竞赛试题）7如图，在ABE和ACD中，给出以下四个论断：ABAC；ADAE；AMAN；ADDC，AEBE以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结
10、论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：（荆州市中考试题）8如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE，求ABCADC的度数 （上海市竞赛试题）9在四边形ABCD中，已知AB，AD6，且BCDC，对角线AC平分BAD，问与的大小符合什么条件时，有BD180，请画出图形并证明你的结论（河北省竞赛试题）10如图，在ABC中，ABC60，AD，CE：分别平分BAC，ACB求证：ACAECD（武汉市选拔赛试题）11如图，在RtABC中，B90，AP，CQ分别平分BAC，BCAAP交CQ于I，连PQ求证：为定值 12在ABC中，ACB90，A
11、CBC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DEADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明 （海口市中考试题） 图1图3图213CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB，E，F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA90，90，则BECF，EF（填“”、“”或“”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与
12、BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）图1图2图3（台州市中考试题）专题15 全等三角形例1 C 命题、是假命题 例2 证明ABPAQC 例3提示：延长AD至E，使DE=AD,连结BE,则ACDEBD例4 如图，在AB上截取AF,使AF=AC,连结EF 由ACEAFE,得C=AFE.AC/BD,C+D=180而5+AFE=180,则5=D. 在BFEBDE中，5=D,3=4,BE=BE BFEBDE,得BF=BD.AB=AF+BF=AC+BD.例5 (1) =,
13、= a+BCA=180,先证明BCE=CAF, 再证BCECAF (2)EF=BE+AF例6如图,过点A作AE丄AB交BC的延长线于点E, 则AB=AE,E=D在ADC与CEA中 ADCCEA得CD=AE=AB.A 级1.15 2. 7cm 3. 90 4. 5.D 6.B 7.B8 .(1) 如图，先证DBF=DAC,再证BDFADC. 最后由D点作DS丄BF于S，DT丄AC于T，由SBDF=SADC,可知DS =DTED平分FEC (2)类比(1)可证.9.(1) 2OM=BC 理由如下:延长OM至N,使OM=NM,连DN,可先证：OMANMD再证COBODN.ON=BC即2OM=BC (
14、2)类比(1)可证2OM=BC10.提示：AEPAFP,M=ACBMFC=ACBAFE=ACB(ABC+M)11.在BC上截取BF=BD,则BDPBPF以下只要证明CF=CE,充分利用角平分线构造全等三角形.BPC=90+A=120,BPD=BPF=CPF=CPE60,又1=2,CP=CP,CPFCPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE12.(1)略 (2)连CM,证明CBDCEM. B级1. 45或135 提示：对高的位置进行讨论 2. 1AD4 3.ABAC 4.C 5.A 提示：延长ED到G,DG=ED,连结CG 6.D提示：符合条件的两个三角形不一定全等7.略8.如图,作C
15、F丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF ABAE=AFAD. 即BE=DF. RtCBERtCDF ,得ABC=CDF. ABC+ADC=CDF+ADC=180.9.(1) ab,不妨设ab,如图所示,在AB上截取AE=AD,连结EC,则ADCAECAEC=D，CE=CD=CB，B+D=CEB+AEC=180，（2）当a=b，则ACDABC，得D=B.欲使D+B=180，则需D=B=90，所以当ab时，一定有B+D =180；当a=b时，只有D=B=90，才有B+D =180.10. 提示：如图作AOC平分线OF交AC于F，由ABC=60，AD，CE分别平分BAC，ACB，可证：AOC=120，AOE=AOF=COD=60.可证AEOAFO，CFOCDO，AC=AE+CD.11.在AC是截取CP=CD，连ID，在AC上截取AE=AQ，连IE，过P作PNCQ于N，过D作DMIE于M，易证：CPICDI，AQIAEI，由题意可证：AIC=90+B=135，CIP=CID=AIQ=AIE=DIE=45，再证PINDMI，PN=DM，12.（1）先证明ADCCEB，从而AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE.（2）同（1） （3）DE=CDEC=BEAD13（1）=；= ，先证明B=ACF，再证明BCECAF.（2）EF=BE+AF.