1、江西省宜春市五校2013届高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）设三个集合A，B，C满足AB=BC，则一定有（）AACBCACACDA=C考点：交、并、补集的混合运算3794729专题：阅读型分析：本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论AAB，BAB，ABA，ABB解答：解：因为AAB且CBC，AB=CB由题意得AC，故选A点评：本题主要考查集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解2（5分）设M（s，t）是顶点在原点、始边在X轴的非负半轴的840角的终边上的一点，则的值为（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义；诱导公
2、式的作用3794729专题：三角函数的求值分析：根据三角函数的定义，是840角的余切值，求解即可解答：解：点M（s，t）是840角终边上异于原点的一点，则的值就是：cot840= 所以 =cot840=cot120=故选B点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力3（5分）设p：“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”，q：“f（x0）=0”，则p是q的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分且必要D既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数在某点取得极值的条件3794729专题：导数的概念及应用分析：根据函数在极值点的导数等于零，可得充
3、分性成立再由导数等于零的点不一定是极值点可得必要性不成立，从而得出结论解答：解：由极值的定义可得，函数在极值点的导数等于零，故由p：“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”，可得q：“f（x0）=0”成立，故充分性成立但由于导数等于零的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处得导数等于零，但函数在x=0处无极值，故由q：“f（x0）=0”，不能退出p：“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”成立，即必要性不成立故命题p是命题q的充分不必要条件，故选A点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数等于零的点与函数的极值点的关系，属于基础题4（5分）设（0.91.1）m
4、（1.10.9）m，则m的取值范围是（）A（，0）B（0，+）C（1，+）D（0，1）考点：幂函数的性质3794729专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用幂函数的单调性质即可求得参数m的取值范围解答：解：0.91.10.90=1=1.101.10.9，（0.91.1）m（1.10.9）m，y=xm为（0，+）上的增函数，m0故选B点评：本题考查幂函数的单调性，比较得到0.91.11.10.9是关键，属于基础题5（5分）（2013成都模拟）定义在R上的函数满足以下三个条件：对任意的xR，都有f（x+4）=f（x）；对任意的x1，x20，2且x1x2，都有f（x1）f（x2）；函数f（x+2）
5、的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）Af（4.5）f（7）f（6.5）Bf（7）f（4.5）f（6.5）Cf（7）f（6.5）f（4.5）Df（4.5）f（6.5）f（7）考点：命题的真假判断与应用3794729专题：函数的性质及应用分析：错误：函数f（x+2）的图象关于Y轴对称，应该是：函数f（x+2）的图象关于y轴对称由条件可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在0，2上是增函数，在2，4上是减函数根据f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（1），f（6.5）=f（1.5），再利用函数在0，2上是增函数可得结论解答：解：由可得函数的图象关于直线x=4对称；，由可得函数在0
6、，2上是增函数；由可得函数f（x+2）为偶函数，故f（2x）=f（2+x），故函数f（x）的图象关于直线x=2对称综上可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在0，2上是增函数，在2，4上是减函数再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（21）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（20.5）=f（1.5），故有 f（4.5）f（7）f（6.5），故选A点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，体现了转化的数学思想，属于基础题6（5分）（2010安徽）设abc0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）ABCD考点：函
7、数的图象3794729专题：综合题；分类讨论分析：当a0时，二次函数开口向上，判断C、D中c的符号，再确定b的符号，判断C、D的正误，当a0时，同样的方法判断A、B的正误解答：解：当a0时，因为abc0，所以b、c同号，由（C）（D）两图中可知c0，故b0，即函数对称轴在y轴右侧，C不正确，选项（D）符合题意显然a0时，开口向下，因为abc0，所以b、c异号，对于A、由图象可知c0，则b0，对称轴，A不正确；对于 B，c0，对称轴，B选项不正确故选D点评：根据二次函数图象开口向上或向下，分a0或a0两种情况分类考虑另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置
8、等是常考题7（5分）ABC中，若，且，则的值为（）A3B2CD考点：平面向量的基本定理及其意义3794729专题：计算题；平面向量及应用分析：利用平面向量的性质运算，得出用、表示的式子，再平面向量基本定理结合题意，算出x、y的值，可得的值解答：解：，=2（），整理得=+又x=，y=，可得=2故选：B点评：本题给出三角形一边的三等分点，求向量的线性表达式，着重考查了平面向量的性质运算与平面向量基本定理等知识，属于基础题8（5分）从一个等差数列中可取出若干项依次构成一个等比数列，如等差数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，中的第1项、第2项、第4项、第8项，依次构成一个等比数列：1，2，4，8
9、，这个等比数列的第3项是原等差数列的第4项若一个公差非零的等差数列an的第2项a2，第5项a5，第11项a11依次是一个等比数列的前3项，则这个等比数列的第10项是原等差数列的第（）项A1535B1536C2012D2013考点：等比数列的性质；等差数列的性质3794729专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据公差非零的等差数列an的第2项a2，第5项a5，第11项a11依次是一个等比数列的前3项，确定等比数列的首项与公比，再利用等差数列的通项，即可得到结论解答：解：由题意，设等差数列an的首项为a1，公差为d，则公差非零的等差数列an的第2项a2，第5项a5，第11项a11依次是一个等比
10、数列的前3项，（a5）2=a2a11，（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d）d0，a1=2d，等比数列的首项为3d，公比为2，第10项为3d29=1536d2d+（n1）d=1536dn=1535故选A点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生的计算能力，属于中档题9（5分）设实数x，y满足x2y2+x+3y20，当x2，2时，x+y的最大值是（）A0B3C6D9考点：简单线性规划的应用3794729分析：在平面直角坐标系中，画出实数x，y满足x2y2+x+3y20，的可行域，确定目标函数的最大值即可解答：解：实数x，y满足x2y2+x+3y20，转化为（x+）2（y）20即|x
11、+|y|当x2，2时，|x+|y|表示的可行域如图：要求x+y的最大值，就是求z=x+y经过可行域内的点A时取得由可得A（2，4），所以x+y的最大值为：6故选C点评：本题考查简单线性规划的应用，转化思想的应用，考查表达式的几何意义与计算能力10（5分）对于任意的四棱锥，平面与其四条侧棱都相交且截面是平行四边形，符合上述条件的平面共有（）个A0B1C2D无数考点：棱锥的结构特征3794729专题：空间位置关系与距离分析：如下图所示：要使截面四边形A1B1C1D1是平行四边形，我们只要证明A1B1C1D1，同时A1D1B1C1即可，根据侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，利用
12、面面平行的性质定理，我们易得结论解答：证明：已知四棱锥PABCD，如图所示：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为，作与平行且与四条侧棱相交，则由面面平行的性质定理得截面必为平行四边形显然与平行且与四棱锥的四条侧棱相交的平面可作无数个，故选D点评：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析二、填空题（每题5分，共25分）11（5分）不等式0的解集为x|4x1考点：其他不等式的解法3794729专题：计算题分析：依题意，解不等式
13、组即可解答：解：4x4时，0，不等式（x1）0的解集不等式组的解集，解不等式组得：4x1故不等式（x1）0的解集为x|4x1故答案为：x|4x1点评：本题考查无理不等式的解法，转化为解不等式组是关键，属于中档题12（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为考点：由三视图求面积、体积3794729专题：计算题分析：由几何体的俯视图是半圆，主视图是等腰三角形，且左视图是直角三角形得到原几何体是半圆锥，然后根据图中给出的量求半圆锥的表面积解答：解：由几何体的三视图可得其原图形是底面半径为1，高为2的半圆锥，如图，该几何体的表面积等于下底半圆面的面积加上等腰三角形PAB的面积加上以1为底
14、面半径，以2为高的圆锥侧面积的一半底面半圆面积为，三角形PAB的面积为，因为圆锥的底面半径为1，高为2，所以母线长为，所以圆锥侧面积的一半为所以该几何体的表面积为故答案为点评：本题考查了由三视图求表面积，解答此题的关键是还原原几何体，由三视图还原原几何体首先看俯视图，结合主视图和左视图得原几何体，此题属中低档题13（5分）如图，是函数y=Asin（x+），（）的图象的一段，O是坐标原点，P是图象的最高点，A点坐标为（5，0），若，则此函数的解析式为考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式3794729专题：计算题分析：设P（x0，A），依题意利用向量的数量积的坐标运算通过解方程可求得
15、x0与A的值，继而可求得其周期T，从而可求得与解答：解：设P（x0，A）（A0），则=（x0，A），|=，=+A2=10，又=15，A点坐标为（5，0），5x0+0A=15，x0=3；将x0=3代入得A=1设其周期为T，=53=2，T=8，令0，又T=，=8，=又函数y=sin（x+）过A（5，0），且在3，5上单调递减，5+=2k+，kZ，令k=0，得=y=sin（x）故答案为：y=sin（x）点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查向量的数量积与方程思想，求得x0与A的值是关键，也是难点，属于中档题14（5分）设，则f（x）的值域是（0，+）考点：函数的值37947
16、29专题：计算题分析：把g（x）代入f（x）根据分段函数，分段求出f（x）各自的值域，从而进行求解；解答：解：因为，（x0）若xg（x）=3log2x，解得x2，f（x）=+x3=+x3因为x2，所以f（x）23=1，若xg（x），即0x2，f（x）=24g（x）x2=2xx2=（x1）2+1f（x）在1x2上为减函数，f（x）在0x1上为增函数，所以0=f（0）f（x）f（1）=1，综上f（x）的值域为f（x）0，所以f（x）的值域是（0，+）；点评：此题主要考查分段函数的性质及其应用，求分段函数的定义域，需要进行分类讨论，此题计算比较复杂，是一道基础题；15（5分）一质点从原点出发，第1次
17、移动到点（1，0 ），每次都从到达点出发，第2次移动到点（1，2），第3次移动到点（2，2），第4次移动到点（2，2），第5次移动到点（3，2）第6次移动到点（3，4），第7次移动到点（4，4），第8次移动到点（4，4），第9次移动到点（5，4），第10次移动到点（5，6），依此类推，到2012次移动前，此质点到达位置的坐标是（1006，1006）考点：进行简单的合情推理；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式3794729专题：综合题分析：根据已知中前10次移动后点的坐标，分析出移动n次后，点的横坐标的变化规律及纵坐标的变化规律，进而根据到2012次移动前，此质点共移动了20
18、11次，代入可得答案解答：解：根据已知中前10移动后点的坐标：第1次移动到点（1，0 ），第2次移动到点（1，2），第3次移动到点（2，2），第4次移动到点（2，2），第5次移动到点（3，2），第6次移动到点（3，4），第7次移动到点（4，4），第8次移动到点（4，4），第9次移动到点（5，4），第10次移动到点（5，6），可得移动奇数次后点的横坐标为点的纵坐标为2012次移动前，此质点共移动了2011次，到达位置的横坐标是：=1006到达位置的纵坐标是：=+=1006即此质点到达位置的坐标是（1006，1006）故答案为：（1006，1006）点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据前10
19、次移动质点坐标的变化情况，分析出变化的规律是解答的关键三解答题16（12分）ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且（1）求cos（A+C）的值；（2）若，求a，b，c的值考点：二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用3794729专题：三角函数的求值分析：（1）ABC中，由及二倍角余弦公式求得sinC、cosC的值，再由sinA的值求得cosA的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（A+C）的值（2）应用正弦定理，由条件求得2R的值，再利用正弦定理的变形a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC求出结果解答：解：（1）ABC中，由 及二倍角余弦公式、A，
20、B是锐角求得（3分）再由，得，（4分）cos（A+C）=cosAcosCsinAsinC=（6分）（2）应用正弦定理，由条件得，得，（ 9分）故 ，；c=2RsinC=1（12分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题17（12分）某物流公司购买了一块长AM=30米、宽AN=20米的矩形地块，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路或停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，顶点B，D分别在边AM，AN上，设AB长度为x米（1）要使仓库占地面积不小于144平方米，求x的取值范围；（2）若规划建设的仓库是高度与AB的长度相等的长
21、方体建筑，问AB的长度是多少时，仓库的库容量最大？（墙地及楼板所占空间忽略不计）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式3794729专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由S144，得出边AB的长度范围；（2）先确定仓库的库容量，再利用基本不等式，即可求最值解答：解：（1）由题意，（ 2 分）（ 4 分）仓库占地面积不小于144平方米，14412x18（ 6分）（2）由题意，=9=，当且仅当，即x=20（米）时，V最大为（立方米） （12分）点评：本题考查函数模型的确立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学
22、生的计算能力，属于中档题18（12分）若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y更接近m（1）若x2比4更接近1，求x的取值范围；（2）a0时，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范围考点：绝对值不等式的解法3794729专题：计算题；新定义分析：（1）依题意，|x21|3，解之可求得答案；（2）由x2+a|（a+1）x|，两端平方，之后移项化积，对a分类讨论即可解答：解：（1）由题意，|x21|3（2分）3x213（3分）得x（2，2）（5分）（2）据题意，x2+a|（a+1）x|，（x2+a）2（a+1）x2，x2（a+1）x+ax2+（a+1）x+a=（x1）（xa）（x+1
23、）（x+a）0（8分）当0a1时，x（1，a）（a，1）；当a=1时，这样的x不存在；当a1时，x（a，1）（1，a）（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题19（12分）ABC中，AC=3，BC=4，AB=5P在平面ABC的射影为AB的中点D（1）求证：AB与PC不垂直；（2）当APC=60时，求三棱锥PABC的体积；求二面角PACB的正切值考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系3794729专题：综合题；空间角分析：（1）连CD，若ABPC，则ABCD，CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BC，由
24、此能够证明AB与PC不垂直（2）由勾股定理，知ACB是直角，D是斜边AB的中点，CD=AD，PA=PC，PAC为正三角形，由此能够求出三棱锥PABC的体积取AC的中点E，连PE、DE，则PED就是所求二面角的平面角，由此能够求出二面角PACB的正切值解答：（1）证明：连CD，若ABPC，则ABCD，CD是线段AB的垂直平分线，AC=BC，这与ACBC矛盾故AB与PC不垂直（4分）（2）解：由勾股定理，ACB是直角，D是斜边AB的中点，CD=AD，PA=PC，PAC为正三角形，（6分）PC=AC=3，CD=，（8分）取AC的中点E，连PE、DE，则PED就是所求二面角的平面角，（10分）由于DE
25、=2，故所求角的正切值为（12分）点评：本题考查直线不垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查二面角正切值的求法解题时要认真审题，仔细解答20（13分）称数列an+1an为数列an的一阶差数列若数列an中，a1=3，a4=24且an+1an的一阶差数列为常数列2，2，2，（1）求a2，a3；（2）求数列an的通项公式an；（3）设，求证：对一切nN+，考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和3794729专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）确定数列an+1an是公差为2的等差数列，即可求得结论；（2）数列an+1an是首项为5，公差为2的等差数列，由此可求数列an的通项公式an；（3）
26、利用裂项法求和，即可证得结论解答：（1）解：由于数列an+1an的一阶差数列为常数列2，2，2，知数列an+1an是公差为2的等差数列由（a4a3）（a3a2）=2，（a3a2）（a2a1）=2得a2=8，a3=15（4分）（2）解：数列an+1an是首项为5，公差为2的等差数列，n2时，（8分）而a1=3也恰适合以上通项公式，故（9分）（3）证明：对一切nN+，=（13分）点评：本题考查新定义，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题21（14分）已知函数，其导函数f（x）的图象经过原点（1）若存在x0（，0），使曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线
27、的斜率等于4，求a的取值范围；（2）当a0时，求f（x）的零点的个数考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程3794729专题：导数的综合应用分析：（1）由已知f（0）=0，得出b=0，进而求出函数f（x）的表达式再利用导数的几何意义，可得出，利用基本不等式即可求出a的取值范围；（2）利用导函数=0，列出表格如表，利用极值、单调性和函数零点的判断方法即可判断出零点的个数解答：解：f（x）=x2（a+1）x+b，由f（0）=0，b=0，f（x）=x2（a+1）x（1）当x00时，=5，当且仅当，x00，解得x0=2时取等号；a的取值范围是（，5（2）f（x）=x2（a+1）x=xx（a+1），令f（x）=0，解得x=0，或a+1，a0，a+10，列表如下：f（x）在（，0上递增，在0，a+1上递减，又在a+1，+）上递增，而，f（0）=a0，又a10a+1（a+2）2，故f（x）在（a1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）2）内各有一个零点，所以f（x）共有3个零点点评：本题考查了导数的综合应用，正确理解导数的几何意义和熟练掌握导数求出函数的极值与单调性及函数零点的判断方法是解题的关键
