1、考点测试62离散型随机变量及其分布列高考概览考纲研读1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用一、基础小题1已知离散型随机变量X的分布列为：X123nP则k的值为()A B1 C2 D3答案B解析由分布列的性质知k12袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()AX4 BX5 CX6 DX4答案C解析第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球，共放了五回，第六次取到了红球，试验终
2、止，故X63设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B C D答案C解析设失败率为p，则成功率为2pX的分布列为：X01Pp2p则“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，由p2p1，得p，即P(X0)故选C4某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同且都大于5，于是他随机拨最后四位数字，设他拨到所要号码时已拨的次数为，则随机变量的所有可能取值的种数为()A24 B20 C18 D4答案A解析由于后四位数字两两不同，且都大于5，即是6，7，8，9四位数字的不同排列，则有A24种5从装有3个白球、4个红球的箱子中，
3、随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A B C D答案C解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P6随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，则a的值为()A B C110 D55答案B解析随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，a2a3a10a1，55a1，a715个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)答案C解析X服从超几何分布，故
4、P(Xk)，k48已知随机变量X的分布列为：P(Xk)，k1，2，则P(2X4)等于()A B C D答案A解析P(2X4)P(X3)P(X4)故选A9老师计划在晚修19：0020：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率为()A B C D答案B解析设19：0020：00对应时刻0，60，甲、乙问问题的时刻为x，y，则x，y0，60，两人独自去时不需要等待满足|xy|20，概率为故选B10甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并
5、回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_答案1，0，1，2，3解析X1，甲抢到1题但答错了，而乙抢到了2题且都答错了；X0，甲没抢到题，乙抢到3题且答错至少2题，或甲抢到2题，但答时1对1错，而乙答错1题；X1时，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题，或甲抢到3题，且1错2对；X2时，甲抢到2题均答对；X3时，甲抢到3题均答对二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型三、模拟小题11(2018孝感一模)已知随机变量的分布列如下：012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个
6、零点的概率为()A B C D答案B解析由题意知a，b，c0，1，且解得b，又函数f(x)x22x有且只有一个零点，故对于方程x22x0，440，解得1，所以P(1)故选B12(2018云南师大附中月考)随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为()A B C D答案D解析P(Xn)(n1，2，3，4)，1，a，PP(X1)P(X2)故选D13(2018石家庄质检)如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则P(8)_答案解析解法一：由已知得的可能取
7、值为7，8，9，10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列为：78910PP(8)P(8)P(9)P(10)解法二：P(8)1P(7)1一、高考大题1(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的
8、概率解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P(Xk)(k0，1，2，3)所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1)所以，事件A发生的概率为2(2017全国卷)
9、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：
10、瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P(X200)02，P(X300)04，P(X500)04因此X的分布列为X200300500P020404(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(n300)4n12002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8
11、002n因此E(Y)2n04(12002n)04(8002n)0264004n当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n(0404)(8002n)0216012n所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元3(2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更
12、换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)05，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为02，04，02，02，从而P(X16)0202004；P(X17)20204016；P(X18)202020404024；P(X19)20202204
13、02024；P(X20)20204020202；P(X21)20202008；P(X22)0202004所以X的分布列为X16171819202122P00401602402402008004(2)由(1)知P(X18)044，P(X19)068，故n的最小值为19(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)19200068(19200500)02(192002500)008(192003500)0044040(元)当n20时，E(Y)20200088(20200500)008(202002500)0044080(元)可知当n19时所需费用的期望值小于n20
14、时所需费用的期望值故应选n194(2017天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P
15、(Z1)P(Y1)P(Z0)所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为二、模拟大题5(2018山东潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：P(X)06826；P(2X2)09544；P(3X3)09974评判规则：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；(2)将数据不
16、在(2，2)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y)解(1)由题意知，14，2，由频率分布直方图得P(X)P(12X06826，P(2X2)P(10X18)(004029011003)209409544，P(3X3)P(8X20)(00050040290110030015)209809974，不满足至少两个不等式成立，该生产线需要检修(2)由(1)知P(2X2)094，任取1次是次品的概率为006，任取2件产品得到的次品数Y的可能取值为0，1，2，则P(Y0)2；P(Y1)C；P(Y2)2Y的分布列为Y012PE(Y)012或E(Y)n
17、p26(2018湖南湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量(g)5，15)15，25)25，35)35，45)45，55数量(只)6101284(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为(61010201230840450)285(g)，所以购进500 kg生蚝，其数量为50000028517544(只)(2)由
18、表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)4，P(X1)C13，P(X2)C22，P(X3)C31，P(X4)4X的分布列为X01234PE(X)012347(2018河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在50，100)内，且销售量x的分布频率f(x)(1)求a的值并估计销售量的平均数；(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量
19、X的分布列及数学期望(将频率视为概率)解(1)由题意知解得5n9，n可取5，6，7，8，9，结合f(x)得0505aaa1，则a015可知销售量分布在50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)内的频率分别是01，01，02，03，03，销售量的平均数为5501650175028503950381(2)销售量分布在70，80)，80，90)，90，100)内的频率之比为233，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3X的所有可能取值为1，2，3，P(X1)，P(X3)，P(X2)1X的分布列为X123P数学期望E(X)1238(2018湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响
20、的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：得分60，70)70，80)80，90)90，100甲种产品的件数5103411乙种产品的件数812319(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元在(1)的前提下：记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率解(1)甲种产品为合格品的概率约为，乙种产品为合格品的概率约为(2)随机变量X的所有可能取值为190，85，70，35，且P(X190)，P(X85)，P(X70)，P(X35)所以随机变量X的分布列为X190857035P所以E(X)125设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5n)件，依题意得，90n15(5n)300，解得n，又因为0n5，且n为整数，所以n4或n5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)C415