1、第五章 2 2.1 A 组素养自测 一、选择题 1某商场售出两台取暖器，第一台提价 20%以后按 960 卖出，第二台降价 20%以后按960 卖出，这两台取暖器卖出后，该商场(C)A不赚不亏 B赚了 80 元 C亏了 80 元 D赚了 160 元 解析 设第 1 台原价 x1，第 2 台原价 x2，则 x1(120%)960 得 x1800，x2(120%)960，得 x21200，9602(8001200)80.选 C 2用长度为 24m 的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A3m B4m C6m D12m 解析 设矩形的长为 x，则宽为14
2、(242x)，则矩形的面积为 S14(242x)x12(x212x)12(x6)218，所以当 x6 时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为 3m.3某生产厂家的生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的关系式为 yx280 x，若每件产品的售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(D)A52 B52.5 C53 D52 或 53 解析 因为利润收入成本，当产量为 x 件时(xN)，利润 f(x)25x(x280 x)，所以 f(x)105xx2x1052210524，所以 x52 或 x53 时，f(x)有最大值 4 某 公 司 招 聘 员 工，面 试 人 数 按 拟 录
3、 用 人 数 分 段 计 算，计 算 公 式 为 y 4x（1x10，xN），2x10（10 x10，不合题意；若 2x1060，则 x25，满足题意；若 1.5x60，则 x40100，不合题意故拟录用 25 人 5如图 1，动点 P 从直角梯形 ABCD 的直角顶点 B 出发，沿 BCDA 的顺序运动，得到以点 P 运动的路程 x 为自变量，ABP 的面积 y 为因变量的函数的图象，如图 2，则梯形 ABCD 的面积是(B)A96 B104 C108 D112 解析 从图 2 可看出，BC8，CD10，DA10，在图 1 中，过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E，可推得 AE6，AB16
4、，所以梯形的面积为12(DCAB)BC12(1016)8104，故选 B 6(福建高考题)要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是(C)A80 元 B120 元 C160 元 D240 元 解析 设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长为 xm，因为无盖长方体的容积为 4m3，高为 1m，所以长方体的底面矩形的宽为4xm，依题意，得 y204102x24x8020 x4x 160，当且仅当 x4x，即 x2 时，等号成立，y 取得最小值，即 ymin160.所以该容器的最低总造价
5、为 160 元故选 C 二、填空题 7某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价 25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y之间的函数关系是_ya4x(xN)_ 解析 依题意，设新价为 b，则有 b(120%)a(125%)b(120%)25%.化简，得 b54a.yb20%x54a20%x，即 ya4x(xN)8某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加 1 万元，又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数：R(Q)4Q 1200Q2，那么总利润 L(Q)的最大值是_2
6、50_万元，这时产品的产量为_300_(总利润总收入成本)解析 L(Q)4Q 1200Q2(200Q)1200(Q300)2250，则当 Q300 时，总利润L(Q)取最大值 250 万元 9某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%，试问，大约使用_4_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元 解析 设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得 14.4(10.9x)2.4x14.4 化简得 x60.9x0，令 f(x)x60.9x 易得 f(x)为
7、递增函数，又 f(3)1.3740，f(x)在(3，4)上有一个零点，故大约使用 4 年后，用在该车上费用达到 14.4 万元 三、解答题 10(10 分)有 l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值 解析 设小矩形的长为 x，宽为 y，窗户的面积为 S，则由题图可得 9xx6yl，所以 6yl(9)x，所 以 S 2 x2 4xy 2 x2 23 x l (9 )x 366x2 23 lx 366x2l3622l23（36）.要使窗户所透过的光线最多，只需窗户的面积
8、S 最大 由 6y0，得 0 xl9.因为 02l36l9，所以当 x2l36，yl（9）x6l（18）6（36），即xy1218时，窗户的面积 S有最大值，且 Smax2l23（36）.11(10 分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，每人需交费用为 900 元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，人均费用减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止旅行社需支付各种费用共计 15000 元(1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)当 0 x30 时，y900；当
9、30 x75，y90010(x30)120010 x.即 y900，0 x30，120010 x，30 x75.(2)设旅行社所获利润为 S 元，则当 0 x30 时，S900 x15000；当 30 x75 时，Sx(120010 x)1500010 x21200 x15000.即 S900 x15000，0 x30，10 x21200 x15000，30 x75.因为当 0 x30 时，S900 x15000 为增函数，所以 x30 时，Smax12000；当 30 x75 时，S10 x21200 x1500010(x60)221000，即 x60 时，Smax2100012000.所以
10、当旅行团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润 B 组素养提升 一、选择题 1如图所示，从某幢建筑物 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离地面403 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是(B)A2m B3m C4m D5m 解析 以 OB 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程是 ya(x1)2403，由条件(0，10)在抛物线上，可得 10a403，a103，所以 y103(x1)2403，设 B(x，0)(x1)，代入方程得：(x1)24，所以 x3.2某建
11、材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 500 元的部分 5%超过 500 元的部分 10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为(A)A1500 元 B1550 元 C1750 元 D1800 元 解析 设该顾客在此商场的购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元 由题可知，y0，0 x800，0.05（x800），800 x1300，0.1（x1300）25，x1300.y
12、5025，x1300，0.1(x1300)2550，解得 x1550.1550501500(元)故此人购物实际所付金额为 1500 元 3(多选)在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示给出下列说法，其中正确的是(BD)A前 5min 温度增加的速度越来越快 B前 5min 温度增加的速度越来越慢 C5min 以后温度保持匀速增加 D5min 以后温度保持不变 E温度随时间的变化情况无法判断 解析 温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量t，则 y 相应的增量y 越来越小，而 5min 后 y 关于 t 的增量保持为 0，
13、则 BD 正确 4某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费甲厂的总费用 y1(千元)、乙厂的总费用 y2(千元)与印制证书数量 x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(ABC)A甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元 B甲厂的费用 y1与证书数量 x 之间的函数关系式为 y10.5x1 C当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元 D若该单位需印制证书数量为 8 千个，则该单位选择甲厂更节省费用 解析 由题图知甲厂制版费为 1 千元，
14、印刷费平均每个为 0.5 元，甲厂的费用 y1与证书数量 x 满足的函数关系为 y10.5x1，故 A、B 正确；当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 321.5 元，故 C 正确；当 x8 时，y10.5815，y21485292，因为 y1y2，所以当印制 8 千个证书时，选择乙厂更节省费用，故 D 不正确 二、填空题 5某零售商购买某种商品的进价 P(单位：元/千克)与数量 x(单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示现此零售商仅有现金 2700 元，他最多可购买这种商品_90_千克 解析 由题意得，购买这种商品所需费用 y(单位：元)与数量 x(单位：千克)之间的函
15、数关系式为 y37x，0 x10，32x，10 x50，30 x，50 x100，27x，100 x150，25x，x150，从而易得 3050270030100，即该零售商购买这种商品的数量应在 50 千克与 100 千克之间，故最多可购买这种商品270030 90(千克)6甲工厂八年来某种产品的年产量 y 与年份代号 x 的函数关系如图所示现有下列四种说法：前三年该产品的年产量增长速度越来越快；前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品的年产量保持不变 其中说法正确的是_ 解析 设年产量 y 与年份代号 x 的关系为 f(x)，由图，可知前三年该产品的年产
16、量的增长速度越来越慢，故错误，正确；由图，可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化，且 f(4)0，故错误，正确 7某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y5x4000，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为_800_副 解析 由 5x400010 x，解得 x800，即日产手套至少为 800 副时才不亏本 三、解答题 8某种商品进价为每个 80 元，零售价为每个 100 元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法实践表明：礼品的价格为 1 元时，销售量增加 10%，且在一定范围内，礼品价格为(n1)元时比礼品价格为 n(nN)元时的
17、销售量增加 10%.设未赠送礼品时的销售量为 m 件(1)写出礼品价格为 n 元时，利润 yn(单位：元)与 n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润 解析(1)当礼品价格为 n 元时，销售量为 m(110%)n 件，故利润 yn(10080n)m(110%)n m(20n)1.1n(0n20，nN)(2)令 yn1yn0，即 m(19n)1.1n1m(20n)1.1n0，解得n9.所以 y1y2y3y11y12y13y19.所以礼品价格为 9 元或 10 元时，商店获得最大利润 9某创业团队拟生产 A，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比
18、(如图 1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2)(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将 A，B 两种产品的利润 f(x)，g(x)表示为投资额 x 的函数；(2)该团队已筹到 10 万元资金，并打算全部投入 A，B 两种产品的生产，问：当 B 产品的投资额为多少万元时，生产 A，B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？解析：(1)由题意可设 f(x)k1x，g(x)k2 x，则 f(1)k10.25，g(4)2k22.5，k21.25.所以 f(x)0.25x(x0)，g(x)1.25 x(x0)(2)设 B 产品的投资额为 x 万元，则 A 产品的投资额为(10 x)万元 yf(10 x)g(x)0.25(10 x)1.25 x(0 x10)，令 t x，则 y0.25t21.25t2.5，所以当 t2.5，即 x6.25 时，收益最大，ymax6516万元 答：投资 B 产品 6.25 万元，A 产品 3.75 万元时，能获得最大利润，最大利润为6516万元