1、湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学上学期第一次大联考试题 理（含解析）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【
2、解析】【分析】先求出,再求出,然后利用公式进行计算可得.【详解】，子集个数为4故选B.【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法得，再求其共轭复数即可得解.【详解】由，可得.在复平面内对应的点为位于第三象限.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙
3、两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）A. 钱B. 1钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得a6d，结合a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5即可得解【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a2d+ada+a+d+a+2d，即a6d，又a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基
4、础题.4.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.【详解】因为，显然是奇函数，又,所以在R上单调递增.只有C符合,故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.5.已知，均为单位向量，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解【详解】解：，均为单位向量，且，则，故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题6.内角，的对边分别为，则“为锐角三角形”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
5、 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可知时C一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解.【详解】当ABC锐角三角形时，C一定为锐角，此时成立，当成立时，由余弦定理可得cosC0，即C为锐角，但此时ABC形状不能确定，故为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题.7.在中，则的面积为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，进而得，再利用面积公式即可得解.【详解】因为，解得.所以.所以的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积
6、运算及三角形的面积公式，属于基础题.8.要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题9.设，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过对数运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .【详解】，故选D【点睛】本题考查
7、了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.10.定义在R上的奇函数满足，且当时，则（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】，故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.11.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根所以当时， ，有一根，当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的
8、恒成立，所以 解得故选B【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.12.若，恒成立，则整数k的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】恒成立，即恒成立, 即的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.【详解】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，令，则，在上单调递增，又，存在唯一实根a，且满足，当时，；当时，故整数k的最大值为3故选C【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.由曲线与直线围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交
9、点坐标为，结合图像可知围成的封闭图形的面积.【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，如图: 结合图像可知围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14.已知向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】由向量平行可得，结合可得，结合诱导公式化简得即可得解.【详解】向量，且，所以.由，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.15.已知是偶函数，则_【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的定义,由 恒成立可得.【详解】由得， ，【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.16.已知数列的前项和为，则当取最大值时，的值为_.【
10、答案】674【解析】【分析】化简条件可得，进而得，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解.【详解】由，可得.所以.从而有：是以为首项，-1为公差的等差数列.所以，所以.当时，递增，且；当时，递增，且.所以当时，取最大值.故答案为：674.【点睛】本题主要考查了和的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；（2）先求得，再利用裂项求和即可得解.【详解】解析：（1）
11、设公差为，则，解得，.（2），【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.18.在中，角所对的边分别为，（1）求；（2）为边上一点，求【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）由余弦定理可得，从而可得，进而得解；（2）在中，由正弦定理可得：,，在中， ,，联立和可得解.详解：（1）由已知条件和余弦定理得： 即： 则 又， .（2）在中，由正弦定理可得：, 在中， ,由可得：，即：,化简可得：.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公
12、式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围19.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求与的值；（2）求的最大值及单调递增区间.【答案】（1）,（2）最大值，单调递增区间为，.【解析】【分析】（1）求函数的导数得，由得，从而得解；（2）由结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间.【详解】（1），.（2），当，时，取得最大值.由得，的单调递增区间为，.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.20.已知数列满足且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先令得，再由，与条件作差得；（2）由，利用错位
13、相减法求和即可.【详解】解析：（1）当时，由得.当时，也适合，.（2），两式相减得，.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求函数导数得，分别讨论和时导数的正负从而得函数的单调性；（2）令，则，讨论，和时，利用导数研究函数单调性进而得解.【详解】（1），若，则，在上单调递增；若时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，即，令，则，当时，满足题意；当时，在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；当时，由解得，当时，单调递减；当时，单调递增.在上
14、的最小值为，解得.综上可得实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.22.已知函数（1）若有两个零点，求a的取值范围；（2）设，直线的斜率为k，若恒成立，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求导得,当时,可得在上是增函数，不可能有两个零点, 当时,利用导数可以求得函数在定义域内的最大值为,由，解得.然后根据, 得到在上有1个零点；根据,得到在上有1个零点,可得的取值范围.(2)利用斜率公式将恒成立,转化为,即在上是增函数,再求导后,分离变量变成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.【详解】（1），当时，在上是增函数，不可能有两个零点；当时，在区间上，；在区间上，在是增函数，在是减函数，解得，此时，且，在上有1个零点；，令，则，在上单调递增，即，在上有1个零点a的取值范围是（2）由题意得，在上是增函数，在上恒成立，当且仅当时，即取等号，a取值范围是【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.