1、考点二十 概率、随机变量及其分布一、选择题1同时抛掷 3 枚硬币，那么互为对立事件的是()A“至少有 1 枚正面”与“最多有 1 枚正面”B“最多有 1 枚正面”与“恰有 2 枚正面”C“至多有 1 枚正面”与“至少有 2 枚正面”D“至少有 2 枚正面”与“恰有 1 枚正面”答案 C解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：不同时发生，两个事件的概率之和等于 1.故选 C.2随机向边长为 10，10，12 的三角形中投一点 M，则点 M 到三个顶点的距离都不小于 的概率是()A 95B1C9596D 196答案 C解析 分别以三角形的三个顶点为圆心，为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的
2、区域即为与三角形三个顶点距离不小于 的部分，所以所求概率P112 2121289596，故选 C.3(2019四川成都七中 5 月模拟)据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级若给有巨大贡献的 2 人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为()A15B25C45D35答案 C解析 由题意知，基本事件的总数有 5525 种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共 5 种情形，故所求事件的概率为 1 525202545.4.(2019晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876 年 4 月 1 日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，
3、即在如图的直角梯形 ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881 年加菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15，在梯形 ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中(阴影部分)的概率是()A 32B34C23D 22答案 C解析 在直角BCE 中，accos15，bcsin15，则 P SCDES梯形ABCD12c212ab2c2c2cos15sin15211sin3023，故选 C.5古典著作连山易中记载了金、木、水、火
4、、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()A23B25C12D15答案 C解析 依题意，从 5 种物质中任取 2 种，共有 C2510 种选法，根据相生相克原理，可知恰有 5 种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为 P12，故选 C.6(2019广东潮州二模)一试验田某种作物一株生长果个数 x 服从正态分布N(90，2)，且 P(x70)0.2，从试验田中随机抽取 10 株，果实个数在90,110的株数记作随机变量 X，且 X 服从二项分布，则 X 的方差为()A3B2.1C0.3D0.21答案 B解析 xN(90，2)，且
5、 P(x110)0.2，P(90 x|b|的概率是()A14B13C12D23答案 C解析 ma(2m，2m)，若|ma|b|，则2m22m2 1212，得 m12.所以|ma|b|的概率是 P1121012.故选 C.2投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312答案 A解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C230.620.40.630.648.故选 A.3(2019山东临沂二模)某人连续投篮 6 次，其中 4 次命中，2
6、 次未命中，则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是()A12B25C14D15答案 B解析 基本事件总数 nC46C2215，他第 1 次和第 5 次两次均命中包含的基本事件个数 mC22C24C226，则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是 Pmn 61525，故选 B.4某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A 110B15C25D12答案 C解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则“
7、开关两次闭合后都出现红灯”为事件 AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A，由题意得 P(B|A)PABPA 25，故选 C.5(2019河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0 x1,0y1)；若卡片上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 n，m 估计 的值那么可以估计 的值约为()AmnBnmnC4nmnD4mn答案
8、C解析 由题意，实数对(x，y)(0 x1,0y1)，即面积为 1.且卡片上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，即满足 x2y21，且0 x1，0y0，t1t20a1，又 a2,2，所以函数有零点的实数 a 应满足 a1,2，故 P14.12某个部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件 1 或元件 2正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_答案 38解析 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000，502)，所
9、以每个电子元件的使用寿命超过 1000 h 的概率均为 p12.因为各个元件能否正常工作相互独立，所以 P(该部件的使用寿命超过 1000 小时)p1(1p)238.三、解答题13(2019辽宁沈阳质量监测三)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满 200 元减 50 元；方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数3210 实际付款半价7 折8 折原价(
10、1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一人获得半价优惠的概率；(2)若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解(1)设事件 A 为“顾客获得半价”，则 P(A)342414 332，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为P129322 1831024.(2)若选择方案一，则付款金额为 32050270(元)若选择方案二，记付款金额为 X 元，则 X 可取的值为 160,224,256,320.P(X160)332，P(X224)3424343424141414241332，P(X256)3424341424341424141332，P(X320)142434
11、332，E(X)160 33222413322561332320 332240.所以方案二更为划算14(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，
12、甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性解(1)X 的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)
13、所以 X 的分布列为X101 P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1，因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi4(pipi1)又因为 p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为 4，首项为 p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)4813p1.由于 p81，故 p13481，所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)4413p1 1257.p4 表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 12570.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理