1、23二次函数与一元二次方程、不等式(1)内容标准学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算2.掌握图象法解一元二次不等式3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.授课提示：对应学生用书第24页教材提炼知识点一一元二次不等式的概念我们知道，方程x21的一个解是x1，解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立那么什么是不等式x21的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x21的解集吗？ 知识梳理(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric inequality in one unkno
2、wn)一元二次不等式的一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0，其中a，b，c均为常数，a0.(2)一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的零点即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系函数yx21的零点与方程x210及不等式x210解之间有什么关系？ 知识梳理(1)b24ac000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1，或xx2x|xRax2bxc0(a0)
3、的解集x|x1xx2(2)不等式ax2bxc0(a0)的求解方法000自主检测1不等式xx2的解集是()Ax|x1Bx|x0Cx|0x1 DR答案：C2不等式x26x100的解集是()A BRCx|x5 Dx|x2答案：A3二次方程ax2bxc0的两根为2,3，a0，那么ax2bxc0的解集为()Ax|x3或x2 Bx|x2或x3Cx|2x3 Dx|3x2答案：C4不等式x2x20的解集为_答案：R授课提示：对应学生用书第25页探究一一元二次不等式的解法例1解下列不等式(1)x22x0；(2)x23x50；(3)4x218x0.解析(1)两边都乘以3，得3x26x20，30，3624120，且
4、方程3x26x20的根是x11，x21.原不等式的解集是x|1x1(2)不等式可化为x26x100，(6)241040，原不等式的解集为.(3)不等式可化为16x272x810，即(4x9)20，4x90时，x.原不等式的解集为x|x.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.1求不等式2x23x20的解集解析：2x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的解集是.2解不等式x22x30.解析：不等式可
5、化为x22x30.因为(2)24380，方程x22x30无实数解，而yx22x3的图象开口向上，所以原不等式的解集是.探究二含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式x2(aa2)xa30(aR)解析原不等式可化为(xa)(xa2)0.当a0时，aa2，原不等式的解集为x|xa，或xa2；当a0时，x20，原不等式的解集为x|x0；当0a1时，a2a，原不等式的解集为x|xa2，或xa；当a1时，a2a，原不等式的解集为x|x1；当a1时，aa2，原不等式的解集为x|xa，或xa2综上所述：当a0或a1时，原不等式的解集为x|xa，或xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa2，或xa；当a
6、0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论将本例不等式变为：解关于x的不等式ax2(a1)x10(aR，a0)解析：因为a0，所以原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)0无解；当a1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1时，1，解(x1)0，得1x.综上，a1时，不等式的解集为x|x1；a1时，不等式的解集为；0a1时，不等式的解集为x|1x探究三三个二次之间的关系例3教材P52例1、例2的拓展探究(1)已知解集求函数若不等式yax2xc0的解集为(2,1)，
7、则函数的图象为()解析因为不等式的解集为(2,1)，所以a0，排除C，D；又与坐标轴交点的横坐标为2,1，故选B.答案B(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数yx2ax1有负数零点，则a的范围为_解析有零点，a240，a2或a2，f(0)1，要使x2ax10有负根，则对称轴x0，即a0.a2.答案a2(3)已知解集求不等式已知x2pxq0的解集是，解关于x的不等式qx2px10.解析由已知得，x1，x2是方程x2pxq0的根，p，q，p，q.不等式qx2px10，x2x10，即x2x60，2x3，故不等式qx2px10的解集为x|2x3应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其
8、对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换授课提示：对应学生用书第26页分久必合分类讨论思想解含参数不等式含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论若把握不好这一类，问题就不能顺利解决(3)考虑要周到，即讨论
9、对象的各种情况都要加以分析，给出结论1讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关典例解关于x的不等式，ax2(1a)x10.解析原不等式化为(x1)(ax1)0(1)当a0时，原不等式为x10，x1，(2)当a0时，原不等式为(x1)(x)0.两根为1与且1，得x1或x；(3)当a0时，原不等式化为(x1)(x)0两根为1与，又当1a0时，1，得1x.当a1时，不等式为(x1)20，解集为，当a1时，1，得x1.综上，当a0时，解集为x|x1，或x；当a0时，解集为x|x1
10、；当1a0时，解集为x|1x；当a1，解集为；当a1时，解集为x|x1规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论2讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论典例解关于x的不等式：2x2ax20.解析a216(a4)(a4)(1)当a4或a4时，0，方程2x2ax20的两根为x1(a)，x2(a)原不等式的解集为.(2)当a4时，0，方程只有一根x，原不等式的解集为.(3)当4a4时，0，方程无根，原不等式的解集为R.规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分0、0、0讨论3讨论根的大小型为主当一元
11、二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围典例解关于x的不等式：x22x1a20.解析原不等式等价于(x1a)(x1a)0.当a0时，1a1a，所以原不等式的解集为x|x1a，或x1a当a0时，原不等式的解集为全体实数R.当a0时，1a1a，原不等式的解集为x|x1a，或x1a规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(0)，一根(0)，无根(0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.
