1、空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1C2 D3解析：正确基底的量必须不共面；正确；不对，a，b不共线当cab时，a、b、c共面，故只有正确答案：C2正方体ABCDABCD，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以，为基底，xyz，则x，y，z的值是()Axyz1
2、 BxyzCxyz Dxyz2解析：()()()，对比xyz得xyz1.答案：A3若e1，e2，e3是空间的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z分别为()A.，1， B.，1，C，1， D.，1，解析：xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得x，y1，z.答案：A4点M(1,3，4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是()A(1,3,0)、(1,0，4)、(0,3，4)B(0,3，4)、(1,0，4)
3、、(0,3，4)C(1,3,0)、(1,3，4)、(0,3，4)D(0,0,0)、(1,0,0)、(0,3,0)答案：A5若向量、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.2解析：A中M、A、B、C共面，因1；B中可能共面，但可能；D不对，2，四点共面，故选C.答案：C6已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：8a6b4c8(ij)6(
4、jk)4(ki)12i14j10k.答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7设a，b，c是三个不共面向量，现从ab，abc中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为_(填写代号)解析：ab与a，b共面ab与a，b不能构成空间的一个基底abc与a，b不共面abc与a，b构成空间的一个基底答案：8a，b，c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x_，y_，z_.解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，a，b，c共面这与a，b，c是基底矛盾，故xyz0.答案：0009已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分
5、别为E，F，则_.图1解析：如图1所示，取BC的中点G，连结EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.答案：3a3b5c三、解答题(共40分)图210(10分)如图2所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，表示和.解：()()()；()()().11(15分)如图3所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB6，AA14，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC13.图3(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的
6、坐标(2)若以D为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标解：(1)正方形ABCD中，AB6，ACBD6，从而OAOCOBOD3，各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(3，0,0)，D(0，3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，C1(3，0,4)，D1(0，3，4)，M(0,3，2)，N(3，0,3)(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,
7、0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)B创新探究12(15分)已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P、A、B、C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x、y、z使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组解得与xyz1矛盾，故四点不共面；(2)若向量、共面，则存在实数m、n使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，联立得到方程组，从中解得所以17530