1、白城市20202021学年第二学期期末考试高二数学试卷（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如下表所示：同学甲同学乙同学丙同学丁同学戊相关系数0.45-0.690.74-0.980.82则由表可知（ ）A.乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高B.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高C.
2、乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高D.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高3.函数的图象在处的切线方程为（ ）A.B.C.D.4.三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）A.729B.18C.216D.815.展开式中的常数项为（ ）A.12B.8C.-8D.-126.已知定义在上的函数恰有3个极值点，则的导函数的图象可能为（ ）A.B.C.D.7.现有下面四个命题：若，则；若，则；如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；若数列满足，则由数学归纳法可证明.其中所有真命题的序号是（ ）A.B
3、.C.D.8.设，随机变量的分布列是（ ）01则当在内增大时，A.先减小后增大B.减小C.先增大后减小D.增大9.设，则（ ）A.-36B.6C.-29D.-2710.已知的共轭复数，且，则的最大值为（ ）A.B.C.D.11.某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（ ）A.0.87B.0.89C.0.91D.0.9212.我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知
4、第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前37项和为（ ）A.1040B.1014C.1004D.1024第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的虚部为_.14.某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从09这10个数字中任选一个）.小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为_.15.展开式中的二项式系数和为64，则_，展开式中的系数是_.（本题第一空2
5、分，第二空3分）16.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线.以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；（2）求的值.18.（12分）某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下5
6、0人，50岁及以上50人.第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体.50岁以下50岁以上合计有抗体没有抗体合计填写上面的22列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关.参考公式：，其中.0.150.100.0500.0100.0012.0722.7063.8416.63510.82819.（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在上的最值.20.（12分）现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念.（1）求甲、乙不相邻的概率；（2）设甲、乙之间所隔人数为，例如，当甲、乙
7、相邻时，求的数学期望.21.（12分）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为，标准差为.（1）求与.（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布.（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；（ii）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由.参考数据：若，则，取.22.（12分）已知函数.（1）若存在极值，
8、求的取值范围.（2）当时，证明：.20202021学年第二学期期末考试高二数学试卷参考答案（理科）1.D 因为，所以复数x在复平面内对应的点位于第四象限.2.B 越接近于1，数据的线性相关程度越高，越接近于0，数据的线性相关程度越低.3.A 因为，所以.因为，所以所求切线方程为，即.4.C 第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法；第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法；第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是5.C 常数项为.6.D 对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右
9、两边的导数值异号，故A与C对应的函数只有2个极值点，B对应的函数有4个极值点，D对应的函数有3个极值点.7.B 若，则，则，故是假命题.若，则，故是真命题.因为，所以是真命题.因为，所以当时，满足.假设当时，则，即当时，也成立，故是真命题.8.A 因为，所以.由二次函数图象知，当时，单调递减；当时，单调递增.9.C 令，得；令，得.因为，所以.10.A 因为，所以，则，所以.设，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故的最大值为.11.D 若他们的座位左右相邻，则有种可能；若他们的座位前后相邻，则有种可能.故他们观影时座位不相邻的概率.12.B 没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3
10、行的和为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则前项和为.每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为l的等差数列，则前项总个数为.当时，去掉两端“1”，可得，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10，所以该数列的前37项和为.13.-1 .14.100 因为09中的质数为2，3，5，7，奇数为1，3，5，7，9，偶数为0，2，4，6，8，故他可选择的不同密码的个数为.15.6；-540 由题可知，则.展开式的通项为，由，可得展开式中的系数是.16. 解析一：.解析二：.17.解：（1）将曲线上所
11、有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线，即.把代入得，即.（2）设，曲线的极坐标方程为，则，.所以.18.解：50岁以下50岁以上合计有抗体453075没有抗体52025合计5050100因为，所以有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关.19.解：（1）的定义域为，且.令，得或；令，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，得或.因为，所以舍去，即.因为，所以在上的最大值为，最小值为.20.解：（1）由插空法可得甲、乙不相邻的概率.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，故.21.解：（1），则.（2）（i）因为，所以，则，所以，故.（ii）因为，所以5个零件中恰有1个的内径（单位：）不在内的概率为，因为，所以试生产的5个零件就出现了1个不在内，出现的频率是0.01485的十三倍多，根据原则，需要进一步调试.22.（1）解：，由，得，设函数，则.当时，；当时，.故，当时，故的取值范围是.（2）证明：（方法一）因为，所以，易知在上为增函数，且，所以，且在上单调递减，在上单调递增.又，所以，则.因为，所以，即，故.（方法二）因为，所以，当时，；当时，当时，易证，所以，因为，所以，又故.