1、中考压轴专题卷(四)抛物线中的相似三角形、面积问题及特殊图形存在性问题1已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(2，0)和点B，与y轴交于 点C，对称轴为直线x .(1)求a，b满足的关系式；12解：抛物线的对称轴为直线x ，即ba，a，b满足的关系式为ab0.122ba12先 锋 图 书 1 2 3(2)若点D为抛物线的顶点，连接CD，DB，BC，SBCD .求抛物线的解析式；158解：抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x ，且抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(2，0)，抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3，0)设抛物线的解析式为ya(x2)(x3)，即yax2ax6a，当
2、x0时，y6a，点C的坐标为(0，6a)设直线BC的解析式为ykxm(k0)，将B(3，0)，C(0，6a)代入，得 解得 1203km，m6a，k2a，m6a，先 锋 图 书 1 2 3 直线BC的解析式为y2ax6a.如图1，设直线BC交抛物线的对称轴于点E，则点E，D的坐标分别为 ，DE (5a).SBCDSBDESCED DE(xBxC)()3 .又SBCD ，a1，抛物线的解析式为yx2x6.1-52a，125-24a，254a54a121254a158a158先 锋 图 书 1 2 3 点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MNx轴，垂足为N，线段MN上有一点H，若HBA
3、MAB90，求证：HN的长为定值 证明：如图2，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(3，0)，MNx轴，HNBANM90，BHNHBN90，又HBAMAB90，BHNMAB，BNHMNA，.设点M的坐标为(t，t2t6)，则点N的坐标为(t，0)，HN =1，HN的长为定值1.HNBNANMN2326HNtttt 2223-(2)666t ttttttt （）先 锋 图 书 1 2 3 2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx6(a0)与x轴交于 A(2，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；解：抛物线yax2bx6(a0)过点A(2，0)，B(
4、3，0)，解得抛物线解析式为yx2x6.4a2b60，9a3b60，a1，b1，先 锋 图 书 1 2 3(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，求点D的坐标；抛物线对称轴为直线x .点D在直线x 上，点A，B关于直线x 对称，xD ，ADBD，当点B，D，C在同一直线上时，ACD的周长ACADCDACBDCDACBC，此时ACD的周长最小 设直线BC的解析式为ykx6，将点B(3，0)代入，得3k60，解得k2，直线BC的解析式为y2x6.当x 时，y2 65，点D的坐标为D .1212121212121-52，先 锋 图 书 1 2 3(3)E是第四象限内抛物线上的动点，其横坐
5、标为t，连接CE和BE.设BCE的面积 为S，求S与t之间的函数解析式，并求出S的最大值及此时点E的坐标；过点E作EGx轴于点G，交直线BC于点F.点E的横坐标为t，则点E的坐标为(t，t2t6)(0t3)，点F的坐标为F(t，2t6)，EF2t6(t2t6)t23t，SSBEFSCEF EFBG EFOG EF(BGOG)EFOB (t23t)3 (t )，当t 时，S最大，最大值为 ，yE 2 6 ，此时点E坐标为 .12121212123232278322783232214321-24，先 锋 图 书 1 2 3(4)若点M是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点N，使得以点B，C，M，N
6、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存 在，请说明理由 存在点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设点N的坐标为(n，n2n6)，点M的横坐标为 ，点B，C的坐标分别为(3，0)，(0，6)当BCMN，BCMN时，BM的中点的横坐标为 ，CN的中点的横坐标为 ，n ，点N的坐标为 ；12742n742n727 112 4，先 锋 图 书 1 2 3 当BCNM，BCNM时，BN的中点的横坐标为 ，CM的中点的横坐标为 ，n ，点N的坐标为 ；当BNCM，BNCM时，BC的中点的横坐标为 ，MN的中点的横坐标为 ，n ，点N的坐标为 .综上所述，点N坐
7、标为 或 或 .32n 1432n 145232n 122n32122n525924，-7 112 4，5 112 4，5 112 4，5924，-先 锋 图 书 1 2 3 3已知抛物线yx2bxc经过点B(4，0)和点A(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式，并写出点C的坐标；解：(1)将点B(4，0)和点A(1，0)代入yx2bxc，得 解得 抛物线的解析式为yx23x4，点C的坐标为(0，4)164bc0，1bc0，b3，c4，先 锋 图 书 1 2 3(2)如图1，抛物线上存在一点E，使ACE是以AC为直角边的直角三角形，求所 有满足条件的点E坐标；当CEAC时，设CE的
8、解析式为ykx4，kx4x23x4，解得x10(舍去)，x2k3，点E的坐标为(k3，k23k4)AC217，EA2(k4)2(k23k4)2，EC2(k3)2(k23k)2.AC2EC2EA2，17(k3)2(k23k)2(k4)2(k23k4)2，解得k1，k23(舍去)，点E的坐标为 ；1413 514 16，先 锋 图 书 1 2 3 当AEAC时，设AE的解析式为ymxm，mxmx23x4，解得x11(舍去)，x2m4，点E的坐标为(m4，m25m)AC217，EA2(m5)2(m25m)2，EC2(m4)2(m25m4)2.AC2EA2EC2，17(m5)2(m25m)2(m4)2
9、(m25m4)2，解得m1 ，m25(舍去)，点E的坐标为 .综上所述，点E的坐标为 或 .17 214 16，1351416，-141721416，-先 锋 图 书 1 2 3(3)如图2，M，N是抛物线上的两动点(点M在点N的左侧)，分别过点M，N作PM x轴，PNy轴，PM，PN交于点P.点M，N运动时，始终保持MN不变，当MNP的两条直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的解析式 设点P的坐标为(s，t)当NP2MP时，MN ，MP1，NP2，此时有两种情况：当点M，N的坐标分别为(s1，t)，(s，t2)时，点M，N在抛物线上，(s1)23(s1)4t，s23s4t2，s0，t6.
10、点M，N的坐标分别为(1，6)，(0，4)，直线MN的解析式为y2x4.当点M，N的坐标分别为(s1，t)，(s，t2)时，5先 锋 图 书 1 2 3 点M，N在抛物线上，(s1)23(s1)4t，s23s4t2，s2，t4，点M，N的坐标分别为(3，4)，(2，6)，直线MN的解析式为y2x10.当MP2NP时，MN ，MP2，NP1，此时有两种情况：点M，N的坐标分别为(s2，t)，(s，t1)，点M，N在抛物线上，(s2)23(s2)4t，s23s4t1，s，t ，点M，N的坐标分别为，直线MN的解析式为yx.点M，N的坐标分别为(s2，t)，(s，t1)，5149116991416，-175416，-127516先 锋 图 书 1 2 3 M，N在抛物线上，(s2)23(s2)4t，即s23s4t1，s ，t ，点M，N的坐标分别为 ，直线MN的解析式为y x .综上所述，MN的解析式为y2x4或y x 或y2x10或y x .3475161175416，-391416，-129716127316129716先 锋 图 书 1 2 3