1、离散型随机变量及其分布列知识导学山东 刘乃东 一、课标要求 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念。理解二点分布、超几何分布，并能进行简单应用。 二、要点清点 1随机变量 在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。这种随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量。随机变量常用大写字母，表示或，等表示。 说明：（1）随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数表示，如掷一枚硬币，“正面向上”用数字“1”表示，即=1； （2）这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试验中，结果可能有变化，说明随机试
2、验的结果可以用一个变量来表示。如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，命中10环等结果，即可能结果用0，1，2，10这11个数表示； （3）所谓随机变量不过是建立起基本事件空间与实数的一个对应关系。如设随机变量为骰子掷出的点数，于是=1，2，3，4，5，6，或者说的值域为； （4）随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数映射为实数，与函数概念本质上是相同的。在函数的概念中，函数的自变量是实数，随机变量的概念中，随机变量的自变量是随机试验的结果。 2离散型随机变量 对于随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 说明：随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变
3、量叫做连续型随机变量，我们只研究离散型随机变量。 3离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值（，2，）的概率，以表格的形式表示如下： 则称上表为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列。有时为了表达简单，也用等式，2，表示的分布列。 说明：（1）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映了其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础； （2）一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 4离散型随机变量分布列的性质 （1），2，3，
4、； （2）。 说明：利用分布列和概率的性质，可以计算能由随机变量表示的事件的概率。 5求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）确定的可能取值（1，2，）； （2）求出相应的概率； （3）列成表格的形式。 说明：在求概率时，要用到互斥事件的概率、排列、组合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理等知识和方法，因此对学过的内容要多加复习；在求概率时，要充分运用分布列的性质，一是可减少运算量，二是可验证所求的分布列是否正确。 6两点分布 如果随机变量的分布列为 01称为两点分布。如果随机变量的分布列为两点分布列，就称服从两点分布，而称为成功概率。 说明：两点分布的试验结果只有两种可
5、能性，且其概率之和为1。 7超几何分布 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为，0，1，2，其中 ，且，称分布列01为超几何分布。如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布。 说明：（1）超几何分布列给出了求解这类问题的方法，可以通过公式直接运用求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆；（2）在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式，求出取不同值时的概率，从而列出的分布列。 三、范例剖析 例1 某座收费站一天经过的中华牌轿车的辆数为；某网站中歌曲难忘今宵一天内被点击的次数；一天内的温度；射手对目标进行射击，击中目标得1分，
6、未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的是离散型随机变量的是（ ） 分析：中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量。 解析： 评注：该例主要考查了离散型随机变量的定义，分辨时要紧扣定义，是否能一一列出。 例2 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列。 分析：随机取出3个球的最大号码所有可能取值为3，4，5，6。“=3”对应事件“取出的3个球，编号为1，2，3”； “=4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和1，2，3号球中的2个”； “=5”对应事件“取出的
7、3个球中恰取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”； “=6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球和1，2，3，4，5号球中的2个”。 解析：随机变量的取值为3，4，5，6。从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为，事件“=3” 包含的基本事件总数为，事件“=4” 包含的基本事件总数为，事件“=5” 包含的基本事件总数为，事件“=6” 包含的基本事件总数为，从而有： ；。 随机变量的分布列为3456 评注：确定随机变量的分布列的关键是搞清取每一个值对应的随机事件，进一步利用等可能事件的概率公式和排列组合的知识求出取每一个值的概率，从而获得的分布列。 例3 设随机变量的分布列为，（1，2，3，），求实数的值。 分析：利用离散型随机变量分布列的性质求值。 解析：依题意，有， 由知， ，解得。 评注：该例在求的值时，运用了等比数列的前项和公式。 例4 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为的分布列。 分析：该例是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解。 解析：设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中，它的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为： ； ； 。 的分布列为：012 评注：超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解的意义，然后求出相应概率值，列出分布列即可。