1、西宁市海湖中学20202021学年度第二学期高二数学(文理） 3月开学测试题时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人：第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1直线的斜率是，直线经过点，则a的值为（ ）AB1CD2直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）A，B，C，D，3命题“对，”的否定为（ ）A，B，C，D，4抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD5圆关于原点对称的圆的方程为（ ）ABCD6设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则7“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要8
2、已知命题：是偶函数，命题：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）ABCD9在四棱锥中，平面，四边形是正方形，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（ ）ABCD10双曲线C的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD11曲线与曲线的（ ）.A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等D离心率相等12已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点，若，则的面积是（ ）A B C D第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y4x的斜率的，则该直线的方程为_14已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是_；15已知双曲线的
3、一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_；16若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是_.三、 解答题17回答下列各题.（共10分）（1）求经过点的抛物线的标准方程.（2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程.18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（共12分）（1）求证：BD平面PAC；（2）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE19已知圆：，直线过点.（共12分）（1）若直线与圆相切，求直线的方程.（2）若直线与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程.20已知焦点在轴的抛物线经过点.（共12分）（
4、1）求抛物线的标准方程.（2）过焦点作直线，交抛物线于，两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.21如图，在直三棱柱中，点，分别为与的中点.（共12分）（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.22已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为（共12分）（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值高二数学参考答案第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1直线的斜率是，直线经过点，则a的值为（ ）AB1CD【答案】C【分析】求出的斜率，根据直线平行可得斜率相等即可求出.【详解】直线经过点，解得.故选：C.2直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b
5、，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【分析】将直线方程化为截距式方程即可得出.【详解】由可得，即，.故选：B.3命题“对，”的否定为（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】利用全称命题“，”的否定是特称命题“，”，直接得到结果即可.【详解】根据全称命题“，”的否定为“，”，可知命题“对，”的否定为 “，”.故选：C.4抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】D【分析】把抛物线方程化为标准方程后得焦参数，可得焦点坐标【详解】抛物线方程为，焦点为.故选：D.5圆关于原点对称的圆的方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】由圆的方程确定圆心和半径，求得圆心关于原点对称点的坐标后，半径不变，可得其关于原点
6、对称的圆的方程.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，圆心关于原点对称的点的坐标为，则圆关于原点对6设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.【详解】对于A，若，则或或与相交但不垂直或，故A不正确；对于B，若，则或与异面，故B不正确；对于C，若，则或，故C不正确；对于D，若，则，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是解题关键.称的圆的方程为.故选：B.7“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件
7、D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解方程，再利用充分条件和必要条件的定义判断【详解】方程的解集为或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8已知命题：是偶函数，命题：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可得命题p是真命题，利用不等式的解法可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断可得选项.【详解】因为，所以函数是偶函数，所以是真命题，是假命题，又，解得，满足，所以是真命题，是假命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题，故选：A.9在四棱锥中，平面，四边形是正方形，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】D【分析
8、】取的中点为Q，可得即为所求异面直线所成的角，求出各边长，利用余弦定理即可求出.【详解】如图，不妨设.取的中点为Q，连接，则且，故四边形为平行四边形，即为所求异面直线所成的角.在中，则.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角10双曲线C
9、的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.【详解】2a所以，又c6，所以b2c2a2362016.所以双曲线的标准方程为故选：B11曲线与曲线的（ ）.A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等D离心率相等【答案】C【分析】根据椭圆与双曲线的方程，分别计算焦距，即可求解.【详解】因为，所以表示焦点在轴上的双曲线，其半焦距，椭圆的半焦距，即两条曲线的焦距相等.故选：C12已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点，若，则的面积是（ ）ABCD【答案】D【分析】方法一：在中利用余弦定理可求得，代入三角形面积
10、公式求得结果；方法二：利用焦点三角形面积公式可直接求得结果.【详解】方法一：由椭圆方程知：，设，由椭圆定义知：，在中，由余弦定理得：，.故选：D.方法二：由椭圆焦点三角形面积公式可知：.故选：D.【点睛】结论点睛：椭圆焦点三角形面积.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明13若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y4x的斜率的，则该直线的方程为_【答案】【分析】由条件可得所求直线的斜率为，然后利用点斜式写出答案即可.【详解】设所求直线的斜率为k，依题意又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为，即故答案为：14已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是_；【答案】 【详解】抛物线C
11、：的焦点为，可得，则抛物线C的方程是.由M为FN的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为2，得M的横坐标为1，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线C：的准线方程为,，.故答案为：；6.【点睛】本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)15已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为（ ）【答案】【分析】根据双曲线的一条渐近线的方程为，得到，然后由求解,【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，所以双曲线的离心率，16若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是_.【答案】【分
12、析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案.【详解】因为的焦点为（0,1），所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r，则圆心（0,1）到直线的距离，所以弦长，解得，故该圆的标准方程为：，故答案为：三、解答题17回答下列各题.（1）求经过点的抛物线的标准方程.（2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，代入点坐标，即可求得答案；（2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案.【详解】（1）由于点在第三象限，所以抛
13、物线方程可设为：或，若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：；若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：，故所求抛物线方程为或.（2）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为.由题意，得，解得，所以焦点在轴上的双曲线的方程为.18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点（1）求证：BD平面PAC；（2）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）说明与垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直（2）先证明AE平面PAB从而得证面面垂直【详解】证明：（1）因为PA平面ABCD，所以PABD因为底面ABCD为菱形，
14、所以BDAC又PAACA，所以BD平面PAC（2）因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD所以ABAE又ABPAA，所以AE平面PAB因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误19已知圆：，直线过点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程.（2）若直线与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）设直线的方程为，根据直线
15、与圆相切，由求解.（2）设直线的方程为：，由，利用圆心到的距离求解.【详解】（1）设直线的方程为：，则， 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离等于半径，即，所以：，又也满足题意，故切线的方程为或.（2）设直线的方程为：，则，因为，所以圆心到的距离，即：，即 ，解得 或，或，故直线的方程为或.20已知焦点在轴的抛物线经过点.（1）求抛物线的标准方程.（2）过焦点作直线，交抛物线于，两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：（），再将点代入抛物线的方程中得到p的值，最后写出抛物线的方程即可；（2）设的方程为，联立直线与抛物线的方程可得，由
16、韦达定理可得，再由直线中点的纵坐标为可得，进而求出m的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：（），抛物线过点，；（2）设的方程为，则由，所以，由题意，故，即直线的方程为.【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程.21如图，在直三棱柱中，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先连接，根据题中条件，得到，根据线面平行的判定定
17、理，即可证明结论成立；（2）先由题中条件，得到平面，再根据，即可根据题中数据求出结果.【详解】（1）如图，连接，.因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点；又因为为的中点，所以；又平面，平面，所以平面.（2）因为在直三棱柱中，平面，平面，所以平面，又，为的中点，所以到平面的距离为.又的面积为，所以.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系的常用方法：（1）利用定理和性质进行证明：在证明线面、面面位置平行或垂直关系时，一般根据线面、面面平行或垂直的判定定理及性质，即可证明；（2）利用空间向量的方法进行证明：利用空间向量的方法，分别求解直线的方向向量、平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示，即可证明.22已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值【答案】（1）椭圆的方程为；（2）【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出，进而可求出椭圆的方程；（2）设，两点的坐标分别为，直线的方程为，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系和弦长公式可求得结果【详解】解：（1）设椭圆的方程为由题意得解得，所以，所以椭圆的方程为；（2）设，两点的坐标分别为，直线的方程为，由消去，得，则，得，所以 因为，所以当时，.