1、中考压轴专题卷(二)三角形综合性问题及与函数的综合1如图，在四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，ABCADC90，BCD是锐角(1)若BDBC，求证：sinBCD ；BDAC证明：过点B作AD的垂线BE，交DA的延长线于点E.ABCADC90，ADCABC180，A，B，C，D四点共圆，BDEACB，EABBCD.BEDABC90，BEDABC，sinEABsinBCD.BDACBEAB先 锋 图 书 1 2 3(2)若ABBC4，ADCD6，求的值；BDAC解：如图1，过点B作BFBD，交DC的延长线于点F.ABCDBF90，即ABDDBC CBFDBC，ABDCBF.BADBCDAB
2、CADC360，ABCADC180，BAD180BCDBCF.先 锋 图 书 1 2 3 在DAB和FCB中BCFBAD，BCBA，ABDCBF，DABFCB，BDBF，ADCF.DBF90，BDF是等腰直角三角形，BD DF.ADCD6，CFCDDF6，BD3 ，AC 4 ，.22222ABBC2BDAC3 24 234先 锋 图 书 1 2 3(3)若BDCD，AB6，BC8，求sinBCD的值 解：当BDCD时，如图2，过点B作MNDC，过点C作CNMN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边 形DCNM是矩形易证ABMBCN，.设AM6y，则BN8y.设BM6x，则CN8x.在RtBD
3、M中，BD 10 x.BDDC，10 x6x8y，x2y，在RtABM中，AB 6 y.由(1)知BCDMAB，sinBCDsinMAB .68AMBMABBNCNBC22BMDM2266yx（）（）5122 556 5BMyABy先 锋 图 书 1 2 3 2如图，C90，点A，B在C的两边上，CA30，CB20，连接AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止当 点P与B，C两点不重合时，过点P作PDBC交AB于点D，过点D作DEAC于点E，F为射线CB上一点，且CEFABC.设点P的运动时间为x秒(1)用含有x的式子表示CE的长；解：PDBC，DEAC，且C9
4、0，四边形DECP为矩形，DPAC，DEPC，DPEC，ABCDBP，.CA30，CB20，BP4x，DP6x.DPPBACCB43020DPx先 锋 图 书 1 2 3(2)当点F与点B重合时，求x的值；当点F与点B重合时，FCBC.CEFABC，ECFBCA，ECFBCA，FC9x20，解得x .FCCEACCB63020FCx209先 锋 图 书 1 2 3(3)当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分的面积为y个平方单位，求y与x之间的函数解析式 当点F与点P重合时，CBCFBP4x9x20，解得 x .当0 x 时，FPBCFCPB209x4x2013x，DEP
5、CBCPB204x.此时重叠部分为梯形DEFP，y (DEFP)DP (204x2013x)6x3x(4017x)120 x51x2；201320131212先 锋 图 书 1 2 3 当 x 时，在矩形DECP中，DPEC，DOEFEC，RtDOERtCEF，DOCEDECF，DO6x(204x)9x，DO (204x)此时重叠部分为DOE，y DODE (204x)(204x)(x5)2.综上所述，y与x之间的函数解析式为 201320923121223163y=120 x-51x2(0 x )，y=（x-5）2(x )，20132013209163先 锋 图 书 1 2 3 3如图1，将
6、RtAOB放置在平面直角坐标系xOy中，A90，AOB 60，OB2 ，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，AOB的平 分线OC交AB于点C.动点P从点B出发，沿折线BCCO以每秒1个单位长度 的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发，沿折线COOy以相同的速度运动，当点P到达点O时点P，Q同时停止运动(1)OC，BC的长分别是 ；32，2先 锋 图 书 1 2 3(2)设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数解析式；解：当点P在BC上，点Q在OC上，即0t2时，则CP2t，CQt.过点P作PHCO交CO延长线于点H，易得HCP60，HPC30，HP CP (2t)，S C
7、QHP t (2t)t2 t；32321212323432先 锋 图 书 1 2 3 当t2时，点P与点C重合，CPQ不存在；当2t4时，过点P作PGy轴于点G，过点C作CZy轴于点Z，CO2，易求得CZ，CPt2，OQt2，GPO30，OG OP (4t)，PG (4t)SCPQSCQOSPOQ (t2)(t2)(4t)S (t2)2.综上所述，S 12123212123234t2+t(0t2)，（t-2）2(2t4)，343234先 锋 图 书 1 2 3(3)如图2，当点P在OC上，Q在y轴上运动时，设PQ与OA交于点M，当t为何 值时，OPM为等腰三角形？求所有满足条件的t值 当MOMP时，MOPMPO30，PQOQ，OP2OQ，4t2(t2)，t ；当OPOM时，OMPOPM75.过点P作PNOQ于点N，则PNx轴，NPOCOB30，QPN45，PNQN，(4t)t2 (4t)，解得t2 .当OPPM时，PQy，此时MOPOMP30，MPO120.QOP60，此时不存在等腰三角形OPM.综上所述，当t的值为 或2 时，OPMs为等腰三角形 8332122 33832 33先 锋 图 书 1 2 3