1、第5讲利用导数研究函数中相关参数问题选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B由导数几何意义求参数1,2,7,9函数性质3,4,57函数极值与最值6,10,11,131,2,3,4,5,6,9由函数恒成立、存在性及零点求参数或范围8,12,148巩固提高A一、选择题1.已知函数f(x)=ex+ln(x+1)的图象在(0,f(0)处的切线与直线x-ny+4=0垂直,则n的值为(D)(A)-1(B)1(C)2(D)-2解析:f(x)=ex+,所以f(0)=1+1=2.显然n0,直线x-ny+4=0的斜率为,所以2=-1,解得n=-2.故选D.2.已知直线y=ax是曲线y=ln x的切线,则实数a等于
2、(C)(A)(B)(C)(D)解析:设y=ax与y=ln x切于点P(x0,ln x0),由y=ln x,得y=,所以a=,则切线方程为y-ln x0=(x-x0),由切线过(0,0),所以ln x0=1,x0=e,所以a=,故选C.3.设定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)-f(x)=xln x,f()=,则f(x)(D)(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值,又有极小值(D)既无极大值,也无极小值解析:因为xf(x)-f(x)=xln x,所以=,所以=,而=,所以=+c,所以f(x)=+cx,由f()=,解得c=,所以f(x)=+x,所以f(x)=(1
3、+ln x)20,f(x)在(0,+)上单调递增,故函数f(x)无极值.故选D.4.设函数f(x)=x3-4x+a(0a2)有三个零点x1,x2,x3,且x1x2-1(B)x20(C)0x22解析:因为函数f(x)=x3-4x+a,0a0;在(-,)上,f(x)0.再由f(x)的三个零点为x1, x2, x3, 且x1x2x3, 得到x1-,-x2,根据f(0)=a0,且f(1)0,故有0x21.故选C.5.已知函数f(x)满足:f(x+1)和f(x-1)都是偶函数,当x-1,1)时f(x)=|log2|x-1|, 则下列说法错误的是(D)(A)函数f(x)在区间3,4上单调递减(B)函数f(
4、x)没有对称中心(C)方程f(x)=k(k0)在x-2,4上一定有偶数个解(D)函数f(x)存在极值点x0, 且f(x0)=0解析:因为f(x+1)和f(x-1)都是偶函数,所以f(x)的图象关于x=1,x=-1对称,所以4为f(x)的周期,从而其图象如图,由图象可知A,B,C正确.而D选项中f(x)在(-1,1)上存在极小值点x=0, 但此时f(0)不存在,故D错误.故选D.二、填空题6.函数f(x)=x2-2bx+3a在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围为.解析:因为f(x)=x2-2bx+3a的导数为f(x)=2x-2b,所以f(x)的极小值点是方程2x-2b=0的根,即x=b,又
5、因为函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,所以0b0,所以=1-ln m,即=m2(1-ln m)有解即可,令g(x)=x2(1-ln x),g(x)=2x(1-ln x)+x2(-)=x(1-2ln x)=0,可得x=,所以g(x)在(0,)是增函数,(,+)是减函数,g(x)的最大值为g()=,又g(0)=0,所以0,所以0a2e.答案:(0,2e8.已知函数f(x)=x3+3x对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(mx-2)+f(x)0可化为f(mx-2)-f(x)=f(-x),由f(x)递增知mx-2-x,即mx+x-20,则对任意的m-
6、2,2,f(mx-2)+f(x)0恒成立,等价于对任意的m-2,2,mx+x-20恒成立,所以解得-2x0,解得,a1或a0,2x0,此时f(x)0;f(x)在0,1上单调递增,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,而|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=a-ln a,由题意得,a-ln aa-1,解得ae,答案:e,+)三、解答题13.已知函数f(x)=ex(x2+ax+1),aR(e为自然对数的底数).(1)若x=e是f(x)的极值点,求实数a的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)f(x)=exx2+(a+2)x+a+1=e
7、x(x+1)(x+a+1),由f(e)=0,得a=-e-1,此时x=e是f(x)的极小值点.(2)由f(x)=0,得x=-1或x=-a-1.当a=0时,-a-1=-1,f(x)的单调递增区间是(-,+);当a-1,f(x)的单调递增区间是(-,-1),(-a-1,+);当a0时,-a-1-1,f(x)的单调递增区间是(-,-a-1),(-1,+).14.已知函数f(x)=xln x+,g(x)=x3-x2-3,aR.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若对任意的x1,x2,2,都有f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=xl
8、n x-,f(1)=-1,f(x)=ln x+1+,f(1)=2,从而曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=2(x-1)-1,即y=2x-3.(2)对任意的x1,x2,2,都有f(x1)g(x2)成立,从而f(x)ming(x)max,对g(x)=x3-x2-3,g(x)=3x2-2x=x(3x-2),从而y=g(x)在,递减,在,2递增,g(x)max=maxg(),g(2)=1.又f(1)=a,则a1.下面证明当a1时,xln x+1在x,2时恒成立.f(x)=xln x+xln x+,即证xln x+1.令h(x)=xln x+,则h(x)=ln x+1-,h(1)=0.当x,1时,h(
9、x)0,当x1,2时,h(x)0,从而y=h(x)在x,1时递减,x1,2时递增,h(x)min=h(1)=1,从而a1时,xln x+1在x,2时恒成立.即所求a的取值范围为1,+).巩固提高B一、选择题1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是(B)(A)(1,2)(B)(1,4)(C)(2,4)(D)(4,+)(-,1)解析:若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则函数在(1,2)内导数必满足f(1)0,求导f(x)=3x2-3a,则f(1)=3-3a0, 所以1a0,f(x)=2x+=,因为函数f(x)=x2+mln(1+x)有两个极值点,所
10、以方程f(x)=0必有两个不等根,即2x2+2x+m=0在(-1,+)上有两个不等根,所以解得0m.答案:(0,)5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有个.解析:由导函数的图象可知,在(a,b)内,与x轴有四个交点,第一个点处导数左正右负,第二个点处导数左负右正,第三个点处导数左正右正,第四个点处导数左正右负,则函数f(x)在开区间(a,b)内极大值点有2个.答案:26.函数f(x)的导数f(x)=(x-)(x-k)k, k1,kZ,已知x=k是函数f(x)的极大值点,则k=.解析:因为函数的导数
11、为f(x)=(x-)(x-k)k, k1,kZ,所以若k是偶数,则x=k不是极值点,则k是奇数,若k0,解得x或xk,由f(x)0,解得kx,由f(x)0,解得xk或x,由f(x)0,解得x0),所以f(x)=a-=,若f(x)在(1,+)上无最小值,则f(x)在(1,+)上单调,所以f(x)0在(1,+)上恒成立,或f(x)0在(1,+)上恒成立,所以a,或a,而函数y=在(1,+)上单调递减,所以a1或a0,而a为正实数,故a1,又因为g(x)=ex-ax,所以g(x)=ex-a,因为函数g(x)=ex-ax在区间(1,+)上单调递增,所以函数g(x)=ex-a0在区间(1,+)上恒成立,
12、所以a(ex)min在区间(1,+)上成立,而exe,所以ae,综合,a1,e.答案:1,e8.设函数f(x)=ln x+,mR,若对任意ba0,a0,1恒成立,等价于f(b)-b0),则h(b)0),所以m.对于m=,h(x)=0仅在x=时成立,所以m的取值范围是,+).答案:,+)三、解答题9.(2017山东卷)已知函数f(x)=x3-ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解:(1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f
13、(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,
14、0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时,g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a;当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时,g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时,g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.
