1、函数的应用(二) 数学建模活动:生长规律的描述基础过关练题组一利用已知函数模型解决问题1.(2020山东青岛胶州高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32 m/s时,它的耗氧量的单位数为()A.900B.1 600C.2 700D.8 1002.(2020北京房山高一期末)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg xA0(其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的
2、声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为()A.53B.1053C.104D.e43. (2020重庆十一中高三月考)为了抗击新型冠状病毒肺炎疫情,保障师生安全,学校决定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比0t0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(参考数据:21.414,31.732,lg 20.301 0,lg 30.477 1)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.12.(2020山东烟台高一期末)科技创新在经济发展
3、中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:f(x)=0.03x+8,f(x)=0.8x+ 200,f(x)=100log20x+50,x3 000,9 000.试分析这三个函数模型是否符合公司要求;(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?答案全解全析基础过关练1.答案C信息提
4、取v=12log3Q100.求当v=32时,Q的值.数学建模以科学家研究大西洋鲑鱼洄游耗氧量为背景,构建对数型函数模型,应用函数模型解决求值问题,将实际的鲑鱼洄游问题抽象为数学问题,将v=32代入v=12log3Q100中,求得Q的值即可.解析当v=32时,32=12log3Q100,即log3Q100=3,故Q100=33=27,所以Q=2 700.故选C.2.C设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2.由题意得f(x1)=100=10lg x1A0,f(x2)=60=10lg x2A0x1=A01010,x2=A0106,所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声
5、音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.3.C由题意得y=2t,0t0,y0恒成立,符合题意.故选C.7.A设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12a,又进行两次降价后的价格为1.12a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2a=0.992a400可得1.1x2,即xlg2lg1.10.3010.0417.3,即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金数将超过400万元.10.C由题列出如下表格:x/月1234月销量y/台100200400790根据表格中的数据,可知函数在(0,+)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越
6、来越快,分析各选项知选项C符合,故选C.11.信息提取水葫芦蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.经过时间x(xN)个月,水葫芦覆盖面积为y(单位:m2).两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+q(p0).数学建模以水葫芦生长为背景,选择函数模型并应用模型解决实际问题.由题意可知点(2,18),(3,27)在函数图像上,代入验证,从而确定函数模型.解析(1)y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p0)的增长速度越来越慢,依题意应选函数y=kax(k0,a1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=
7、8, y=832x(xN).(2)当x=0时,y=8,设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍,则832x=81 000,x=log321 000 =lg1 000lg 32 =3lg3-lg2 17.04,原先投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.12.解析(1)函数f(x)=0.03x+8,当x=3 000时,f(3 000)=98100log2020+50100,又因为当x3 000,9 000时,f(x)f(9 000)=100log209 000+50100log20160 000+50=450,x53 0005=600,所以f(x)maxx5min,所以f(x)x5恒成立.因此,f(x)=100log20x+50为满足条件的函数模型. (2)由100log20x+50350得log20x3,所以x8 000,所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.
