1、关于最值常见解析几何中的一些最值问题摘 要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量引言：中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨
2、论：一、利用二次函数的知识求最值关于二次函数： y=ax2+bx+c（a0），xR当x= -时，y=为最值。当a0时，有ymin当a0，则有ymin= 当a1）。分析：本题所要求解的是y轴上指定范围内的动点P到已知曲线上的最短距离，观察因已知曲线的解析式含有绝对值，故须对自变量x的取值先进行讨论，去掉绝对值符号，然后明确所求极值的函数对象，经分析，该抛物线的对称轴数值能够取在x的定义域范围内，故有最值存在。解：由当，即 时设曲线上的点Q（）故，而a1（已知）当时，即|PQ|min=同理，当，即时y= 解得：|PQ|min=a-12a+1-(a-1)2=4a-a2=a(4-a)又a1当14时，有
3、，即|PQ|min=例1.3 已知抛物线（x-1）2= y-1， x，其y的最小值是g(t)，试写出S=g(t)的解析表达式，并画出其图象。分析：该题的目标函数已经给出，y=(x-1)2+1，自变量x是定义在一个含有参数t的闭区间内，此时需求参数t与抛物线对称轴点的位置关系进行讨论。如图（1）当 即 , ymin=1 当 ， 即时 ， 当 时， 经求解可知S=g(t)是一个关于t的分段函数。如图（2） y y=(x-1)2+1 g(t) O t t+1 x O t x=1 （1） （2）补充说明：当x是定义在一个闭区间a,b （a,b为常数），但抛物线为动抛物线（或一些一元双二次式）时，仍需讨
4、论。二、运用判别式求解让我们先具体看一下例题，找出这类求解方法的题目特征例2.1 已知定点P（3，2）和直线，试在直线上求一点Q，使过PQ的直线与直线以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小。分析：本题设问的是达到最值时过PQ的直线，此时我们需要根据题设寻出关于面积最值的函数解析式，找出它与所求未知量之间的联系。解：如图，设上的点Q（）由题设知，,又P（3,2），由直线两点方程得：yl0 xOMQP设交x轴于M点（x1，0），代入上式得：，即M点（）又SOMQ= =S2-8S由S0可得S8Smin=8代入式得：当Q为（2,4）时，SOMQ最小评注：关于这类题目，通常其提问方式都是以最值作为前提
5、条件，再由此求出其对应所求自变量的值，具体特征：所列最值的函数解析式或化简后的解析式s=f(x)可以化为：的形式（是s的函数）一般的解决方法：在上式中，由（或x可在某一定义域范围内取值）可以得出 ，解这个不等式求出s的变化范围，得到最值，再将其代回原式解x，最终求出其对应自变量的值。下面，我们可再通过一个实例来体会函数判别式法在最值问题当中的应用。例2.2 长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离最短时M点的坐标。解：设抛物线上的点A（），B（）则= ， AB的中点M到y轴的距离d= （）2+ 由可并设得 ， 也即 对变形得：2d-2Z+4d2
6、-4Z2=9 即 4Z2+2Z+9-4d2-2d=0 Z=4-16(9-4d2-2d)0解上得 ：d 或d（舍去）d 即有 dmin=代入方程可得Z= -，也即又=2d+2Z=2M()三、利用不等式法求解均值不等式的一般形式：A=G，（其中为正数且n1，nZ）不等式通常分“基本不等式”和“均值不等式”两种结构特征，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件及等号是否能够取得，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决，是运用此方法的关键条件也是难
7、点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最后还应注意的是最值，应为和的最值（此时积为定值）或积的最值（此时和为定值）。例3.1 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的高与宽的比为画面的上，下各留8cm空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：此题系2001年全国高考文科试题，应根据几何图形，引入变量，建立面积函数，注意题设所给的是解此题的一个关键条件。解：设画面高为x,宽为，设纸张面积为S，则S=（x+28）（+25）=+16由2=4840得代入上式得：S=5000+（） （00）yMMx=poNNx由题设M
8、、O、N三点共线，可联想到对应线段成比例此时需作辅助线段，好M、N两点各到x轴的垂线段得到比值，求出轨迹方程，过程略。所得轨迹方程：（P2-1）x2+P2y2-2Px-P2=0（x0）（）当P=1时，N点轨迹代入即为y2=2x+1（x0）设N（x,y）M(-1,t)由M、O、N三点共线得：即M（-1，）则|MN|= =当且仅当即x=1时等式成立当x=1时，|MN|min=4引伸例题：例3.3 已知椭圆=1（ab0）的一条切线与两条坐标轴分别交于A、B两点，求|AB|的最小值。（本题若用不等式法求解：关键应注意如何凑定值）四、利用三角函数求最值。函数y=sinx，在x=，KZ时取最大值y=1在x
9、=-，KZ时取小值y=1函数y=cosx，在x=2K，KZ时取最大值y=1在x=(2K+1)，KX时取最小值y=1例4.1 求抛物线y2=2Px过焦点F的弦长的最小值。分析：线段AB上的端点均为流动点，且由题设知该一段与x轴所成夹，角应作为一个参变量，此时可考虑用曲线的参数方程来表达流动点。解： 设过焦点的弦所在的直线的参数方程为：（t为参数） x= y=tsin代入y2=2Px得t2sin2PtcosP2=0|AB|2=(t1t2)=(t1+t2)24t1t2=|AB|= y A 当=时，|AB|min=2P O F x B （除此以外，该题还可考虑用极坐标设A、B两点，求出|AB|最值）引
10、伸例题：例4.2 求函数y= (0x)的最小值解：（法一）：利用关系式asinx+bcosx=和有异性，求解具体从略。（法二）：对形如的函数式，通常可视作（g(x),f(x)）与点（b,a）的连线的斜率，由于sin2x+cos2x=1，所以从图形角度考虑点（cosx，sinx）在单位圆上，这样一类既含有正弦函数又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何法求解。具体求解：将函数表达或写成：y=y可看作连结两点A（2，0）与点（cosx，sinx）的直线的斜率，则所求y的最小值就是在此上半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小（如图）。设过点A的切线与半圆相切于点B，则 KABy0 yOABAAx
11、可得KAB=tgymin=（此时x=） 以上主要分别介绍了四种求解最值问题的方法，此外还有数形结合，导数法、几何法等等，其中几何法通常是利用几何图形的对称性或曲线上特殊点等有关几何图形的一些特殊性质来求最值，在例4.3中的解法（2）渗透的是数形结合的思想方法。小结部分：解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤:一、明确所求最值的函数对象。二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系突出确定自变量。三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列出函数解析式并化简。五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特征而选定恰当的求最值的方法进行求解。