1、二、数形结合思想 思想解读 思想解读 应用类型 数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,提示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.1.构建函数模型并结合图象求参数的取值范围或解不等式.2.构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围.3.构建解析几何模型求最值或范围.4.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.总纲目录 应用一 解决方程的根或函数的零点问题 应用二 求解不等式或参数问题
2、 应用三 解决最值问题 应用一 解决方程的根或函数的零点问题 例 已知直线(1-m)x+(3m+1)y-4=0所过定点恰好落在函数f(x)=的图象上,若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.B.log,03(01),|4|,3axxaaxx且1,21,12C.D.(1,+)1,12解析 由(1-m)x+(3m+1)y-4=0,得x+y-4-m(x-3y)=0,由 可得直线过定点(3,1),loga3=1,a=3.令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=mx-2的图象,易得 m0时,f(x)=ln x-x+1,则
3、函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 答案C 当x0时,f(x)=ln x-x+1,则f(x)=-1=,所以x(0,1)时,f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln 1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象,如图,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.故选C.1x1xx2.(2017广东惠州第三次调研)已知函数f(x)=其中m0.若存在实数b,使得关于x
4、的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .2|,24,x xmxmxm xm答案(3,+)解析f(x)的大致图象如图所示,若存在bR,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m20,所以m3.应用二 求解不等式或参数问题 例 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 .答案(-,-3)(0,3)解析 设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x0,所以x0时,F
5、(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以,由图可知F(x)0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B 根据题意,画出示意图,如图所示,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.1222343.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB的面积的最小值为 .解析 x2+y2-2x-2y+1=0,(x-1)2+(y-1)2=1,C(1,1).当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRtPAC=|PA|AC|=|PA|越来越大,直角三角形PBC的面积SRtPBC=|PB|BC|=|PB|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,CP垂直于直线l时,S四边形PACB取得最小值,12121212答案 2 2 此时|PC|=3,从而|PA|=2.所以(S四边形PACB)min=2.22|3 14 1 8|34 22|PCAC22