1、1 课时规范练 54 几何概型 基础巩固组1.(2020 广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为 1 的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A.37B.47C.57D.672.(2020 四川达州高三诊断)已知 0,则满足 sin cos 的概率为()A.14B.13C.12D.343.(2020 宁夏吴忠中学高三月考)在
2、正方体内随机放入 n 个点,恰有 m 个点落入正方体的内切球内,则 的近似值为()A.2B.2C.6D.64.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.1213B.1314C.2129D.14155.(2020 河南平顶山高三线上联考)九章算术是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为
3、“邪田”,称底是“广”,高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别2 为八步和十二步,正从为八步,其内部有块广为八步,正从为五步的圭田,若将 100 棵果树均匀地种植在邪田,一年后,每棵果树都有 60 kg 果子收成,则此圭田中的收成约为()A.25 kgB.50 kgC.1 500 kgD.2 000 kg6.(2018 全国 1,理 10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.ABC 的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概
4、率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p37.已知圆柱 OO的底面半径为 1,高为 6,若区域 M 表示圆柱 OO及其内部,区域 N 表示圆柱 OO内到下底面的距离大于 1 的点组成的集合,若向区域 M 中随机投一点,则所投的点落入区域 N 中的概率为()A.13B.23C.56D.168.在区间-,上随机取两个实数 a,b,记向量=(a,4b),=(4a,b),则 42的概率为()A.1-8B.1-4C.1-2D.1-349.(2020 陕西汉中高三检测)设 D 是半径为 R 的圆周上一定点,在圆周上随机取一点 C,连接 CD 得一弦,若
5、 A 表示事件“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则事件 A 发生的概率P(A)=.10.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法,在ABC 内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 .综合提升组3 11.已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:y=x+b.当实数 b0,6时,圆 C 上恰有 2 个点到直线 l 的距离为 1 的概率为()A.23B.22C.12D.1312.(2020 河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母 表示.我们也可以通过如
6、下随机模拟试验来估计 的值:在区间(0,1)内随机取 2m 个数,构成 m 个数对(x,y),设 x,y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)有 n 对,则通过随机模拟的方法得到的 的近似值为()A.+2B.+2C.2+4D.+2213.已知 O,A,B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2 km 处,B 地在 O 地正北方向 2 km 处,某测绘队员在 A,B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O 地为一磁场,距离其不超过3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.1-22B.22
7、C.1-32D.1214.已知某几何体的三视图如图所示,在该几何体内随机取一点,则此点到线段 AB 的中点的距离不大于 1 的概率是 .15.记m表示不超过 m 的最大整数.若在 x(18,12)上随机取 1 个实数,则使得log2x为偶数的概率为 .创新应用组16.(2020 山西实验中学高三月考)我们可以用随机数法估计 的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为 521,则由此可估计 的近似值为()4 A.3.119B.3.126C.3.132D.3.15117.已知实数 a,b 满足 0a1,-1b1,则
8、函数 y=13ax3+ax2+b 有三个零点的概率为 .参考答案 课时规范练 54 几何概型1.D 窗花的面积为 122-41=140,其中小正方形的面积为 5412=20,所以所求概率140-20140=67.2.A 0,sincos,04,满足 sinPD,所以由几何概型的概率得 P(A)=13.10.14 由题得 SABC=12ah,S 矩形=2h,SABC=S 矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.11.A 圆6 C 的圆心坐标为 O
9、(0,0),半径为 2,直线 l 为:x-y+b=0.当 2=3,即 b=32时,圆上恰有一个点到直线l 距离为 1,当 2=1,即 b=2时,圆上恰有 3 个点到直线 l 距离为 1.所以当 b(2,32)时,圆上恰有 2 个点到直线 l 的距离为 1,故概率为32-26=23.故选 A.12.C 依题有0 1,0 1,试验的全部结果构成以 1 为边长的正方形,其面积为 1.因为 x,y 能与 1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得2+2 1,构成如图阴影部分,其面积为4 12,由几何概型概率计算公式得=4-121,解得=2+4.13.A 由题意,AOB 是直角三角形,OA=OB=2,所
10、以 AB=22,O 地为一磁场,距离其不超过3km 的范围为14个圆,与 AB 相交于 C,D 两点,作 OEAB,则 OE=2,所以 CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是 1-=1-222=1-22.故选 A.14.13 根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为 1,高为 2 的圆柱,其体积为 2,线段 AB是底面的直径,线段 AB 的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段 AB 的中点的距离不大于 1 的点构成了以底面圆心为球心,半径为 1 的半球,其体积为12 43r313=23,所以所求的概率是232=13.15.23 若 x(18,12),则 log2x(-3,-1).要
11、使得log2x为偶数,则 log2x-2,-1).所以 x14,12),故所求概率 P=12-1412-18=23.16.B 模拟执行该程序框图,可知该框图是计算满足 x,y,z(0,1)的 1000 组(x,y,z)数据中,满足x,y,z(0,1)且 x2+y2+z21 的组数,根据几何概型概率公式可得 x,y,z(0,1)且 x2+y2+z21 发生的7 概率为431318=6,当输出结果为 521 时,i=1001,m=521,x2+y2+z21 发生的概率为 P=5211000,5211000=6,即=3.126,由此可估计 的近似值为 3.124,故选 B.17.516 对 y=13ax3+ax2+b 求导数可得 y=ax2+2ax,令 ax2+2ax=0,可得 x=0 或 x=-2,0a 0,0,0.画出可行域如图,满足函数 y=13ax3+ax2+b 有三个零点,如图深色区域,实数 a,b 满足 0a1,-1b1,为长方形区域,所以长方形的面积为 2,深色区域的面积为12 1+14=58,所以所求概率为 P=582=516,故答案为 516.