1、高考资源网（） 您身边的高考专家例析三角函数中的最值类型 湖北 王卫华求函数的最值是高中数学中的重要内容，而三角函数的值域和最值是三角函数基础知识的综合应用，是三角函数中的重要性质之一，也是学习中的难点之一，三角函数的最值问题在近几年的高考题中经常出现.本文对三角函数的求最值问题略作归纳，供同学们借鉴一型特点是含有正弦或余弦函数，并且是一次式，函数种类仅有一种解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为一次函数形式或利用三角函数的有界性例1已知的最大值为3，最小值为，求的值分析：设，原题化为一次函数在闭区间上的最值问题解：当时，由，当时，由，所以，说明：本题的解法较多，除了代数函数最值的求法外，常
2、见的有数形结合，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解，其中三角函数的有界性求解是最基本的求法二化成的形式1型特点是含有正余弦函数，并且是一次式解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数一般的，可引进辅助角，化为，再利用正弦、余弦的有界性解之例2 当，求函数的最值解：，设，即，由的图象知，当时，有最小值，；当时，有最大值1，故评注：解本题的关键是借助辅助公式化简式子，结合三角函数有界性求解，如果函数是条件函数，则常常借助三角函数的图象来解题2. 型 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是可先降次，再整理化为上面的类型，再求的最值例3已知函数f(x)=2cos2x+sin
3、2x+m(mR)若x0，且f(x)的最小值是2，求m的值解：由已知得f(x)=1+cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1当x0,时， 2x+，此时当2x+=时，f(x)的最小值是+m+1=2，m=2点评：这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决3形如型特点是一个分式，分子、分母分别有正、余弦的一次式几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，多半化归为型解或用数形结合法（常用直线斜率的几何意义）例4求函数的最值解：函数可化为，所以，其中，因为，所以，解得： 因此，原函数的最大值
4、为，最小值为0评注：求形如（且）的最值通常利用辅助公式及利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法，虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行，有兴趣的同学不妨试一试其他解法三形如的形式例5求函数的最大值与最小值解：，当时，当时，点评：此题可利用分离分母的方法反解出，由正弦函数的有界性；或利用“部分分式”法求最值四形如型有时出现形如y=asin2x+bcosx+c型的函数，其实质同上面情况一样，特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，另一个是一次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数
5、式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解设，先化为二次函数，再求其在闭区间上的最值例6求函数的值域解：原式化为令，则，由二次函数图象可知，当时，；当时，五形如的形式例7求的最小值解：设，则从下图中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义或求导来证明这一结论）当时，点评：若由，可得最小值是错误的，这是因为当等号成立时，即是不可能的，若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下六型函数含有sinx与cosx的和与积型的函数式，其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcos
6、x 进行转化，变成二次函数的问题，设化为二次函数在闭区间上的最值求之例8求函数的最值解析：令，则，原函数可化为，当时，；当时，点评：这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系是纽带，三者之间知其一，可求其二，令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值七利用对偶式巧求最值例9：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值解析：此题要用整体代换法t=cosx+cosy，于是我们有所以，又因为，故，则所求最大值为八形如y=sinxcos2x型的函数 它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式），几乎所有三角中类似的三次式的最值问题都用均值不等式来解或用导数求解，但需要注意是否符合应用的条件最主要的是等号否能取得例10若x(0,)，求函数y=(1+cosx)sin的最大值 解：y=2cos2sin0, y2=4cos4sin2=2cos2cos22sin2 ，所以0y说明：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题，但关键应该抓住cos2x+sin2 x1高考资源网版权所有，侵权必究！