1、第4课时瞬时变化率导数(1) 教学过程一、 数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)处理建议让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1) 求差f(x0+x)-f(x0);(2) 当x(x可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3) 曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.规范板书解=-.当x无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.题后反思本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜
2、率与切线方程.规范板书解设A(1,2),B(1+x,2(1+x)2),则割线AB的斜率为kAB=4+2x,当x无限趋近于0时,kAB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点 A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)处理建议瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.规范板书解取一小段时间3,3+t,位移改变量S=g(3+t)2-g32=(6+t)t,平均速度=g(6+t),当t0时,g(6+t)3g=29.4,即瞬时速度v
3、=29.4 m/s.题后反思若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在ts内所经过的路程为Sm,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第 5s末的速度.规范板书解在t到t+t的时间内,物体的平均速度为=8t+2+4t,当t0时,8t+2,所以,时刻ts的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)处理建议曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.规范板书解设切点坐标为(x,x3+x-10),=3x2+1+3xx+
4、(x)2,当x0时,3x2+1+3xx+(x)23x2+1,由题得,3x2+1=4x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1) 平行于直线y=4x-5;(2) 垂直于直线2x-6y+5=0;(3) 与x轴成135的倾斜角.处理建议利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.规范板书解设P(x0,y0)是满足条件的点.=2x0+x,当x0时,2x0+x2x0.(1) 因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4x0=2,y0=4,即P(2
5、,4).(2) 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0=-1x0=-,即P.(3) 因为切线与x轴成135的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.处理建议利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.规范板书解利用导数的定义可得f(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的
6、图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.处理建议利用导数的几何意义函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率来求解.规范板书解由题意有 解得.二、 课堂练习1. 借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2. 质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0tt0+t时,质点的平均速度为10t0+5t(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0tt0+t时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0tt0+t时,=10t0+5t(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0tt0+t时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3. 已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、 课堂小结1. 曲线上一点处的切线的求法.2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3. 导数的定义及几何意义.