1、华东师大二附中2015届暑期练习（五）数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1 2关于方程的解为 3已知全集，集合，则= 4设，向量，且，则 5在中，若，则 第7题图6在极坐标系中，与的交点的极坐标为 7用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3. 8复数(，且)，若是实数，则有序实数对可以是 （写出一个有序实数对即可）10设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为已知时间时，观光箱A的坐标为，则当时（单位：分
2、），动点A的纵坐标关于的函数的单调递减区间是 12计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 13已知数列，对任意的，当时，；当时，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项14对于函数，有下列4个命题： 任取，都有恒成立；，对于一切恒成立；函数有3个零点；对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是则其中所有真命题的序号是 二. 选择题（
3、本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15下列命题中，错误的是（ ）（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C）若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面（D）垂直于同一个平面的两条直线平行17若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）（A） （B）（C） （D）18已知等差数列的前项和为，向量， ，且，则用表示 （ ）（A） （B） （C） （D）三. 解答题（本大题满分74分）本大
4、题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分BACED第19题图如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥的表面积21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分东北ABCO第21题图Z为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正
5、东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.（1）求关于的函数关系式；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求，的标准方程；xyABCDF0OF第22题图（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值；（3）点是上的两点，且，求证
6、：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）（1）指出，并求与的关系式（）；（2）求（）的通项公式，并指出点列， 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和参考答案与评分标准一. 填空题1； 22； 3； 4； 5； 6；
7、7； 8 或满足的任意一对非零实数对； 9； 10； 114； 12； 1339366（） 14二. 选择题 15 B； 16 A； 17C； 18 CBACED第19题图OF三.解答题19. 解：（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）又在正三角形中得，所以 （理2分文4分）取中点，连结、，故，所以就是异面直线与所成的角（理4分文6分）在中，（理5分文8分） 所以（理6分文10分）所以，异面直线与所成的角的大小为（理7分文12分）（2）由可得正三棱锥的侧面积为 （理10分）所以正三棱锥的表面积为 （理12分）20.解：（1）由已知， （2分） （4分）=.（6分）（2）（8
8、分） （10分），（12分） （14分）21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，（1分）则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，即A（900，600）， （3分）又B（m，0），则直线AB的方程为：，（4分）东北ABCO第21题图yxZ由此得到C点坐标为：，（6分） （8分）（2）由（1）知 （10分）（12分） 所以当，即时，最小，（或令，则，当且仅当时，最小） 征调海里处的船只时，补给方案最优. （14分）22解：（1）在椭圆上，在抛物线上， ： （4分）（2）(理) =.是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设：,，联立方程，得，时恒成立.
9、（也可用焦半径公式得：）（5分）联立方程，得，恒成立., （6分）=. （8分）当直线的斜率不存在时，：，此时，=.（9分）所以，的最小值为. （10分）（文）是抛物线的焦点，当直线的斜率存在时，设：,，联立方程，得，时恒成立， （6分）因准线为，设，与的关系是. .（8分）当直线的斜率不存在时，：，得 ，仍然有 （10分）（3）（理）证明：若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=.（11分）若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设联立方程，解得； （12分） 同理，联立方程，解得；（13分）反之，对于上的任意两点，当时，设，易得；，由得， 即，亦即，（15分）所以当为定值时，不成立 （16分）“反之”
10、的方法二：如果有，且不在坐标轴上，作关于坐标轴对称的射线与交于，显然，与不可能同时成立（16分）(文) =.是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设：,，联立方程,得，时恒成立. （也可用焦半径公式得：）（11分）联立方程，得，恒成立., （12分）=. （14分）当直线的斜率不存在时，：，此时，=.（15分）所以，的最小值为. （16分）23. 解：（1） （1分）设，由题意得 （2分） （4分）（2）分别用、代换上式中的n得 () （6分）又， （8分）因，所以点列，向点无限接近（10分）（3）（理）， （11分），. （12分）将所得的积排成如下矩阵：，设矩阵的各项和为.在矩阵的左下方补上相应的数可得矩阵中第一行的各数和，矩阵中第二行的各数和，矩阵中第行的各数和，（15分）从而矩阵中的所有数之和为. （16分）所有可能的乘积的和 （18分）（文）， （12分），只要比较（13分）（15分）当n=1时， （16分）当n=2时， （17分）当n2时， （18分）